1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело), страница 10

В качестве примера рассмотрим следую­щую ситуацию. На жестком гладком столе лежит тяжелое* тело V" Ц механике слово «тяжелое» (тело) понимается не как прилагательное, а как тер­мин: тяжелое, значит, принимается во внимание сила тяжести. Тело может веситьI грамм или 10 тонн, все равно оно называется «тяжелым», если в уравнениях фиI урирует вес этого тела.67(рис. 3.5).

На поверхности тела вне контакта со столом приложимопределенные силы и зададим некоторые смещения. Какие условиямы должны поставить на контакте со столом? Раз стол жесткий,значит, компонента смещения и, должна отсутствовать. Напряже­ния σ „ от нуля, конечно, отличаются и заранее неизвестны.

Столабсолютно гладкий. Следовательно, трение между ним и телом от­сутствует. Таким образом, и в этом случае на границе должны бытьзаданы три условия. Одно из них на смещения, два другие — нанапряжения:и, = 0, <т,,=0, σ,2= 0 .(29)Рис. 3.5Ясно, что если есть сила трения и стол не является абсолютножестким, то условия усложняются. Здесь возможно достаточномного вариантов постановок задач, представляющих интерес (кон­тактные задачи теории упругости).Отдельно стоит упомянуть класс задач, называемых задачамис односторонними ограничениями.Смысл их очень простой.

Обратимся к рис. 3.5. В процессе де­формирования может оказаться, что тело (либо его часть) припод­нимается над столом. Тогда контакт потеряется и вместо усло­вий (29) необходимо ставить условие свободной поверхности. По­добные условия можно записать с использованием неравенств.В настоящей книге данное направление не рассматривается.Рассмотрим теперь задачи, в которых время фигурирует явно.Имеет значение широкий класс задач, в которых процесс деформи­рования осуществляется довольно медленно, так что силами инер-ции можно пренебречь. Такие задачи называются квазистатическими. В них время фигурирует только как параметр нагружения.Поэтому чаще говорят не о времени, а именно о параметре нагру­жения.

Задачи такого рода — это задачи статики, в которые добав­ляется параметр нагружения.Принципиально другим является случай, когда учитываются си­лы инерции. Здесь время — это уже не параметр, а физическая пе­ременная. Для таких задач все краевые условия задаются как функ­ции времени и, кроме этого, ставятся начальные условия для сме­щений и скоростей:п (эГ|, х25X3»0) и (х„ г , , х3),д_— и (х„хг, х}, 0) =_ν " ( χ ,, х 2, х 3).(зо)б1Здесь (χ ,,χ ,,χ ,) — это точки области V и ее границы 5. Поэтомуданные условия должны быть согласованы с граничными условиями.69Глава 4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ§ 4.1.

Теорема единственностиосновных краевых задач (статика)Вначале выведем одно интегральное тождество. Обратимсяк рис. 3.3 и подсчитаем интеграл:| σ ,μ ά 5 = | (σ.τι,е,.)(мЛ )ά 8= | а ,р кп;5и48=3г, 4 г о. ’ г ост,,гОМЯм, .= Гσ μ η (15= [ ----(σ н, )ί/Γ = Ги. — 1 ί/Γ + | <χ. —- (IV.4 " ' 7ΛЯг.·) ' ЯгΛ "Ях.Ях,Ях " ''Ях.(I)Все шаги являются довольно простыми. Шаг 1 — вычисление сгяпо формуле Коши. Шаги 2, 3 — вычисление скалярного произведе­ния векторов, шаг 4 — переход к объемному интегралу по формулеГаусса — Остроградского, шаг 5 — дифференцирование произве­дения. Так как, согласно уравнениям равновесия,δσ-2- + ^ ,= 0 ,,Ях.то|м , ^άΥ =Ρ μ ,ά ν = - 1 Ρ ΰ ά Υ ., дх>Двойная сумма в последнем слагаемом (1) равнади2Ям,ом,Ям,Ям+ (Т,■= сг,,•+ σ.+ σ,.Ях,Ях,Ях3Ях,Ях2Ям,Ям,Ям3Ям2Ям3+ σ;, —- + σ ,3— + σ- + σ,•+ σ,Ях,Ях,Ях,Ях,Ях,Преобразуем одну пару слагаемых из (3):Ям2^Ям, Ям, ^ом,- + σ,— +— 1Ях,Ях,Ях,2 Ях, уν^Λ/1 Ям, Ям,Ям, Ям2—ίΤ,2£·|2 + <Τ2,£·2|.+σ,= σ η·^Ях2 Ях,УЯх, Ях2 }-I,1^Л 3(2)( 3)>УЛ370(4 )Подставляя (4) в (3), получимсЦ'■σ,,ε,.,.дх,( 5)С учетом (2), (5) тождество (1) можно записать таким образом:| σΤιάΞ + 1 Ρΰάν = | σ ιιειχΐν .5V(6 )VПри выводе тождества (6) мы пользовались только условиями глад­кости всех функций и гладкостью поверхности 5, уравнениями рав­новесия, формулой и условиями Коши (выражениями деформа­цийчерез смещения и,.).

Условия, связывающие напряжения идеформации, не использовались. Поэтому тождество будет вернымдля любых связей деформаций с напряжениями. Данное тождествоназывается основным энергетическим тождеством.Слева в тождестве стоит работа поверхностных и объемных сил,справа — работа по деформированию всех элементарных объемовтела. Надо отметить, что термины «работа», «энергия» в данномконтексте не совсем точны, хотя и употребляются во многих руко­водствах. При подсчете действительной работы учитывается пере­менность силы с возрастанием перемещений, а в (6) сразу беретсяпроизведение конечного значения силы на конечное значение пере­мещения.

Для всех построений указанная неточность в названииникакого значения не имеет.Перейдем теперь к теореме единственности. Предположим, чтопри заданных краевых условиях упругие уравнения имеют два ре­шения. Первое решение будем отмечать одним штрихом, второе —двумя штрихами. Обозначение без штрихов будем использовать дляразности данных решений:и,. = и, - и(., σ У= σ У -СТУВсе уравнения, которые использовались при выводе (6), линейны.Поэтому тождество будет иметь место и для решения-разности (7).Решение-разность удовлетворяет однородным уравнениям.

Поэтомув (6) надо положить Г = 0. Следовательно, второй интеграл равеннулю. Дальше. В случае первой основной краевой задачи на всей71поверхности 5 для решения-разности значение σ „ = 0 . В случаевторой основной краевой задачи — на 5 тождественно равен нулювектор й . В обоих случаях первый интеграл (6) будет равен нулю.Включим в рассмотрение также любые другие задачи, для которыхкраевые условия таковы, что для решения-разности σ ηΰ = 0 на по­верхности 5.

Например, задача (29) в гл. 3 в этот класс попадает.Итак, для решения-разности левая часть в (6) — тождественныйнуль и, следовательно,\ σ αεα ^ν · 0 .(7)Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо конкретизи­ровать связь напряжений и деформаций. Пока мы располагаемтолько одним типом такой связи — законом Гука для однородныхизотропных тел. Воспользовавшись им, получим2\У (гг.) = σ υε4 = σ, ,гг,, + σ 22ε 22 + σ 33ε33 ++ σ ι2ε Ι2 + σ 21ε 2ι + σ 13εΙ3 + σ 31ε 3Ι + σ 23ε 23 + σ 32ε32 =—λε + 2//(гг.

+ ε 22 + ε 33 + ε*2 + ε 2ι + ε~· + ε 31 + ε 23 + ε 32).Функция 2\ν(εΙ]) введена здесь просто как обозначение длядвойной суммы справа. Целесообразность такого обозначения вид­на из следующего факта, который легко проверить:..λε + 2 μ εη = σ,,,δεηд\У2 με[2 —σ ι2,δ ει2δ\Υ= 2 με2, = σ 2δε 21и τ. д. Выражение слева в равенстве (7) всегда неотрицательно. По­этому на основании (7) можно заключить, что для решенияразности всегда гг = 0|(. Следовательно,ε и = ε у’... σ ч = σ чи единственность имеет место для полей деформаций и напряже­ний. Для перемещений есть тонкость.

В гл. 2 было показано, чтодеформации определяют смещения тела неоднозначно, а толькос точностью до смещения и поворота тела как жесткого целого.11оэтому решение первой основной краевой задачи относительноперемещений будет неединственным. Любые два решения будутотличаться друг от друга только полем, соответствующим поворо­ту и переносу тела как жесткого целого. Если же на всей границеили ее части заданы смещения, то единственность будет иметь ме­сто и для смещений.Таким образом, решение уравнений линейной теории упруго­сти, если оно существует, является единственным.

Здесь уместносделать два замечания. Первое. Если говорить о прикладном зна­чении теории, то вопрос о существовании решения в его общейпостановке особо актуальным не является. Предположим, что по­строено решение конкретной задачи и оно имеет ясный механиче­ский смысл, согласуется с экспериментальными данными и (или)другими решениями, построенными по более точным или болееприближенным теориям.

Тогда «существует» и означает фактпредъявления конкретного решения. Отсюда, конечно, не следуетфакт «существования» решения для других конкретных ситуаций.Исследование данного вопроса в общем случае в настоящем курсене рассматривается.Второе замечание связано со следующим обстоятельством. Вер­немся к простейшей задаче теории упругости об одноосном сжатиистержня. Согласно теореме единственности, эта задача имеет един­ственное решение, которому отвечает прямолинейная форма стерж­ня. Причем этот факт не зависит ни от величины сжимающей силы,ни от формы и площади поперечного сечения стержня. Вместе с темясно, что при достаточно большой сжимающей нагрузке стерженьпотеряет устойчивость и изогнется (если он раньше не разрушится).Аналогичные ситуации возможны также во многих других случаях.Противоречит ли это теореме единственности? Нет.

Это означаеттолько, что решения, которые даются линейной теорией, могутбыть неустойчивыми. Поэтому там, где есть основания, необходимодополнительное исследование на устойчивость с привлечением раз­личных нелинейных постановок задач.73§ 4.2. Термодинамика упругого деформирования.Теорема единственности (динамика)Как вы знаете, термодинамика — это раздел физики, в которомизучают обратимые и необратимые процессы. Упругие процессыотносятся к обратимым. Такая формулировка является еще доволь­но общей. Для построения теории нам необходимы более конкрет­ные формулировки, которые приводили бы к конкретным уравне­ниям и в конечном счете давали в руки аппарат для решения по­ставленных задач. Термодинамика как раз дает подходящий языкдля того, чтобы понятию «обратимые процессы» придать точноеи конструктивное определение.Существо проблемы легко понять на следующем примере.

Пустьна жестком столе находится некоторое тело, закрепленное к непо­движной опоре пружиной (рис. 4.1). Мы постепенно сдвигаем телона расстоянии и \ затратив на это время , например, сдвигаем на10 см за 1 час. В процессе сдвига мы можем прижимать тело к столусилой Р([). Вопрос: какую работу мы совершили для реализациисмещения и"? Достаточно ли для ответа знать только конечные зна­чения и°=и(1°), Р° = Р(1п) или необходимо знать сами функциии(1), Р(1) по всем диапазонам изменения (? Ясно, что если стол аб­солютно гладкий, то работа зависит только от значения «°.

Если жетрение есть, то для подсчета работы необходимы данные о и(1) иΡ(ί) на всем диапазоне 0<Γ<Γ°. В механике деформируемоготвердого тела говорят: необходимы данные обо всей историинагружения. Вопрос о роли истории нагружения является одним изглавных в механике твердого тела. Определение упругого телаудобно дать как тела, напряженно-деформированное состояниекоторого от истории его нагружения не зависит.Следовательно, для упругого тела напряжения в любой его точкезависят только от деформаций в этой же точке и наоборот — де­формации в точке зависят только от напряжений в этой же точке.74·В более сложных теориях допускаются более сложные связи, вклю­чающие, например, производные по координатам и др.Р(1)Рис.

4.1Очевидно, что данное определение охватывает собой и нашепредставление об упругости тела как свойстве полностью восста­навливать свою форму после снятия нагрузок. Кроме того, опреде­ление исключает диаграммы деформирования типа показанной нарис. 4.2. Здесь Р и и — сила и удлинение стержня при его одноос­ном растяжении.РВиРис. 4.2Пусть активное нагружение (АР > 0) (осуществляется по ветвиОАВ, а разгрузка (АР < 0) — по ветви ВА ’О. Здесь длина стержнятакже полностью восстанавливается.