1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (Ревуженко - Механика сплошной среды. Упругое тело)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетА. Ф. РсвуженкоМЕХАНИКАСПЛОШНОЙ СРЕДЫ:УПРУГОЕ ТЕЛОУчебное пособиеНовосибирск2017УДК 539.371ББК В251Р 323Рецензентд-р физ.-мат. наук, проф. Е. И. РоменскийР 323Ревуженко, А. Ф.Механика сплошной среды: упругое тело: учеб, пособие/ А. Ф. Ревуженко ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :ИПЦНГУ, 2017, — 216 с.ΙδΒΝ 978-5-4437-0670-2Изложены основы механики деформирования упругих тел: тео­рия деформация и напряжений, замкнутая математическая модельупругого тела, теорема единственности, постановки основных задачстатики и динамики, методы и примеры их решения. Рассмотренатеория плоской деформации.Пособие предназначено для студентов-бакалавров специально­сти 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», а также ма­гистрантов и аспирантов, специализирующихся в области механикидеформируемого твердого тела.УДК 539.371ББК В251Ι8ΒΝ 978-5-4437-0670-2IБИБЛИОТЕКА•—I© Новосибирский государственныйуниверситет, 2017© А.

Ф. Ревуженко, 2017ВВЕДЕНИЕОт жидкостей и газов твердые тела отличаются тем, что под дей­ствием внешних сил они практически сохраняют свои объем и фор­му. Внешние нагрузки, конечно, изменяют объем и форму тела, ноесли данные изменения лежат в допустимых пределах, то тело адек­ватно продолжает выполнять свои функции.

К твердым телам отно­сятся металлы, различные конструкционные материалы, горные по­роды, сыпучие среды и т. д. Это весьма широкий класс материалов,и их изучению посвящен целый ряд дисциплин: теории упругости,пластичности, ползучести, механика горных пород и др.Простейшим представителем твердых тел является упругое тело.В настоящем курсе мы ограничимся изучением только таких тел.Итак, что такое упругое тело? Хорошее представление о нем да­ст старательная резинка, изображенная на рис.

1. На резинку нане­сена квадратная сетка. Видно, что когда мы сжимаем резинку, ееразмеры и форма меняются, поэтому сетка искажается. Но еслинагрузку снять, то резинка полностью восстанавливает свою форму,и сетка опять становится квадратной. Теория упругости изучаетпроцессы деформирования подобных тел. Это очень важная и инте­ресная наука.ния. Без преувеличения можно сказать, что все достижения цивили­зации так или иначе связаны с деформированием упругих тел. Этовсе сооружения — наземные и подземные, карьеры, рудники, шах3ты, метро, мосты, туннели, различные машины и механизмы, воен­ная техника и т.

д.Во-вторых, теория упругости необходима для понимания многихпроцессов, которые происходят в естественных условиях. Сюдаможно отнести распространение волн от землетрясений, геологиче­ские процессы; процессы деформирования Земли и других небес­ных тел под действием приливных сил и т. д.Теория упругости лежит в основе всех инженерных расчетовразличных конструкций и сооружений. Однако не нужно думать,что это только прикладная наука, возникшая из практических по­требностей и призванная их решать. Как и любая достаточно бога­тая и содержательная теория, она имеет самостоятельную жизнь.Здесь уместно привести слова Лява из его монографии [1], ставшейклассической: «Большинство людей, благодаря усилиям которыхзародилась и сформировалась теория упругости, интересовалисьскорее натуральной философией, чем материальным прогрессом,стремились скорее познать мир, чем сделать его более удобным».Зарождение теории упругости связано с именем основоположни­ка современного научного естествознания — Галилео Галилеем.Галилей занимался изучением изгиба горизонтальной балки, заде­ланной одним концом в неподвижную опору (1638 г.).

Далее в1660 г. Гук сформулировал основной закон упругости, который по­лучил его имя. Согласно этому закону, «каково натяжение — таковаи сила». «Натяжение» — это относительное удлинение (деформа­ция), «сила» — это напряжение. В 1680 г. данный закон независимосформулировал Мариотт. Дальше отдельные задачи упругости ис­следовались Д.

Бернулли (1744 г.), Эйлером (1757 г.), Лагранжем(1773 г.), Кулоном (1787 г.). Данный этап развития теории продол­жался до 20-х годов XIX столетия. В это время был сделан принци­пиально новый шаг — построена замкнутая математическая модельупругого тела (Навье 1821 г., Коши 1822 г.).В последующие периоды был выполнен громадный объем ис­следований, связанный с анализом термодинамики упругого де­формирования, введением понятия упругого потенциала, формули­ровкой вариационных принципов, развитием различных методоврешения упругих задач. Здесь можно сослаться на труды Пуассона,Клапейрона, Грина, Кельвина, Сен-Венана, Кирхгофа, Герца,Остроградского, Колосова, Мусхелишвили, Тимошенко и многих4фугих выдающихся ученых. Более полный исторический обзорможно найти в [1 ].Теория упругости служит основой целого ряда более специаль­ных дисциплин, изучающих процессы деформирования различныхнеупругих тел.

К ним относятся теории пластичности, ползучести,механика разрушения, механика горных пород, грунтов и сыпучихматериалов, теории оболочек, композитов и др. Кроме того, необ­ходимо отметить, что в настоящее время и сама теория упругостипредставляет собой весьма обширную область знаний, котораявключает в себя линейную и нелинейную теории упругости, термоупругость, моментную теорию упругости и др.I? данном курсе мы будем изучать линейный вариант теорииупругости, который с одной стороны, является самым простым, ас другой — служит базой для других более сложных теорий.ЗАДАЧА О РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯВначале рассмотрим самый простой случай деформированиятвердого тела — задачу об одноосном растяжении стержня. Анализэтой задачи приводит к двум выводам, которые имеют принципи­альное значение не только для теории упругости, но и для всей ме­ханики деформируемого твердого тела.Возьмем образец некоторого твердого тела в виде длинногостержня (рис.

2). Один конец стержня прикрепим к неподвижнойопоре, а к другому концу приложим растягивающую силу. Эта силавызовет перемещение конца стержня в направлении своего дей­ствия. Величину силы обозначим Р, а соответствующее перемеще­ние — и. Будем считать, что если сила Р зафиксирована, то и сме­щение и во времени также меняться не будет. (Именно здесь мывводим некоторое определение «деформируемого твердого тела».)Рис. 2Точку отсчета перемещений и выберем так, чтобы нулевому зна­чению силы Р соответствовало нулевое значение перемещения и.С изменением нагрузки Р перемещение и будет также меняться. Ре­зультат данного эксперимента можно изобразить в виде графикафункции (рис.

3):Р=№ -О)В механике подобные графики называются диаграммами дефор­мирования.6Исли бы нас интересовал только сам стержень, то мы могли быиспользовать в расчетах непосредственно диаграмму (1). Однаконаша задача гораздо шире. Мы хотели бы рассчитывать различныеконструкции, изготовленные из того же материала, что и стержень.Ясно, что элементы таких конструкций не будут сводиться толькои с гержням, а виды их нагружения — только к одноосному растя­жению. Иными словами, нас интересует не столько поведение кон­кретного стержня, сколько поведение материала, из которого изгоитлсн данный стержень.более конкретно задача сводится к следующей.

ЭксперименIильная диаграмма зависит не только от материала образца, но так­те и от его начальной длины /0, площади поперечного сечения 50 и,может быть, от формы поперечного сечения и других факторов:Р = /(м , /0, 50, ...), и = (р(Р, /0, 50, ...)·(2)Можно ли так обработать экспериментальные данные, чтобыи результате получить характеристики материала как такового,\ гочнить форму конкретного образца? Этот вопрос решается поло­ли гельно и в принципе довольно просто.Проведем опыт со стержнем, начальная длина которого в 2 разабольше, чем /0, т.

е. равна 2/,,. Все остальные параметры (матери­ли, площадь и форма поперечного сечения) остаются прежними(рис. 4 а, б). Пусть стержень 2/„ растянут некоторой силой Р ,М —его середина. Половину стержня ОМ можно рассматривать какчасть устройства нагружения. Это устройство растягивает стер­жень ΜΝ силой Р.

Начальная длина ΜΝ равна /0. Поэтому смещениеточки N относительно М определяется диаграммой (1) и равно /(Р ).7Точно так же к устройству нагружения можно отнести и нижнююполовину стержня ΜΝ. Начальная его длина равна /(). Поэтомусмещение точки М относительно точки О также будет равно / ( Р).Следовательно, общее перемещение точки N относительно точки Обудет равно 2/(Р). Поэтому, располагая диаграммой растяжения длястержня длинной /0, можно построить диаграмму для стержня дли­ной 2/0 (рис. 5 а, б).б///{ / Ш / / / ПмNРис. 4В этом рассуждении предполагается, что обе половины стержнярастягиваются в одинаковых условиях, т. е.

способ заделки в сече­ниях О и М одинаковый. Опыт показывает, что растяжение стержнясопровождается его утоньшением. Поэтому заделка стержня в сече­нии О препятствовать этому утоньшению не должна. Например,8I смерь ясно, что при заданной силе величина растяжения стерж­ни будет пропорциональна его начальной длине. Таким образом,пи функции φ из равенства (2) имееми = 10φ(Ρ, 50, ...).(3)Функция (3) зависит от меньшего числа аргументов, чем (2).11рсжнее обозначение для нее оставлено для удобства.I Ιι (3) следует, что-, 5,.,...(4)/VА)7Рассмотрим теперь роль формы и площади поперечного сеченияа их стержня. Для этого возьмем два одинаковых стержня длиной /(|и площадью сечения 50 каждый.