1625913911-0fc1c0925d0b1ec862bb333fec4f9d4d (2021 - Программа курса Сальников)

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(3-й курс, 5-й семестр)Сальников Сергей ГеоргиевичПрограмма курса лекций1. Квантовая природа света. Излучение абсолютно чёрного тела. Фотоэффект. ЭффектКомптона.2. Волновые свойства частиц. Опыт Резерфорда, стабильность атомов. Модель Бора. Волна де Бройля. Дифракция электронов. Корпускулярно-волновой дуализм.3. Уравнение Шредингера. Вероятностная интерпретация волновой функции. ОператорГамильтона. Зависимость волновых функций от времени. Фазовая и групповая скорости.4.

Координатное и импульсное представления. Соотношение неопределённостей, оценки.5. Операторы физических величин. Измерения в квантовой механике.6. Плотность тока, уравнение непрерывности.7. Одномерное уравнение Шредингера. Стационарные решения. Квантование энергии. Невырожденность уровней энергии. Чётные и нечётные решения. Яма с бесконечными стенкамии прямоугольная потенциальная яма. Мелкая яма. Осцилляционная теорема.8. Одномерное рассеяние. Рассеяние на ступеньке.

Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение.9. Эрмитовы операторы. Ортогональность и полнота системы собственных функций. Дираковские обозначения.10. Коммутаторы. Измеримость величин. Вывод соотношения неопределённостей.11. Временное уравнение Шредингера. Задача с начальными условиями. Пример эволюциив двойной дельта-яме.12. Оператор эволюции. Гейзенберговское представление. Теорема Эренфеста. Теорема овириале.13. Гармонический осциллятор. Операторы рождения и уничтожения.

Когерентные состояния. Нулевые колебания и эффект Казимира.14. Вариационный принцип. Прямой вариационный метод.15. Периодический потенциал. Оператор сдвига. Теорема Блоха. Периодическое поле дельтаям.16. Трёхмерное уравнение Шредингера. Задача двух тел. Разделение переменных в центрально-симметричном поле.17. Орбитальный момент. Собственные значения и собственные функции. Повышающие ипонижающие операторы.

Чётность. Оператор поворота.18. Радиальная волновая функция, граничные условия в нуле. Атом водорода. Собственныефункции. Спектр. Кулоновское вырождение. Основное и первое возбуждённое состояния.19. Стационарная теория возмущений. Производная энергии по параметру. Вырожденныйслучай. Непересечение уровней. Поляризуемость атома водорода. Силы Ван-дер-Ваальса.20. Квазиклассическое приближение.

Критерий применимости. Правила сшивки. Правилоквантования Бора-Зоммерфельда. Плотность состояний в фазовом пространстве. Нормировкаквазиклассической волновой функции. Применение правила квантования Бора-Зоммерфельдадля трёхмерного случая.21. Квазистационарные состояния. α-распад.1Библиографический список1. Л. Д.

Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том III. Квантовая механика.Москва: Наука, 1989.2. В. Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Новосибирск: СУИ, 2002.3. М. Борн. Атомная физика. Москва: Мир, 1970.4. В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. Квантовая механика. Новосибирск: НГУ, 2010.5. И. Ф. Гинзбург.

Основы квантовой механики (нерелятивистская теория). Новосибирск:НГУ, 2012.6. В. М. Галицкий, Б. М. Карнаков, В. И. Коган. Задачи по квантовой механике. Москва:Наука 1992.ЗаданияЗадание №1 (сдать до 25 октября)1. Абсолютно твёрдый шарик с массой m = 1 г подпрыгивает над идеально отражающейгоризонтальной плитой в однородном поле тяжести g. Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимальную энергию шарика и неопределённость в его положении по вертикалив этом состоянии. Провести такую же оценку для нейтрона. Ответы довести до чисел.2.

В момент времени t = 0 свободная частица массы m находится в состоянии, описываемом волновой функциейip0 xx2ψ(x, 0) = A exp− 2 .~2aПри t > 0 найти средние значения координаты x(t) и импульса p(t), их неопределённостей(∆x(t))2 и (∆p(t))2 , а также распределения по координате dW (x, t)/dx, импульсу dW (p, t)/dpи энергии dW (E, t)/dE. С чем связано расплывание пакета?3. Частица движется в поле трёх дельта-ям U (x) = −G [δ(x + a) + δ(x) + δ(x − a)]. Прикаком значении параметра a в этом поле появляется второе (третье) связанное состояние?Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний при условии mGa/~2 1.4.

При t = 0 состояние линейногоp осциллятора с частотой ω задано волновой функцией22ψ(x, 0) = A (1 + x/a) e−x /2a , где a = ~/mω. Определить средние значения координаты и импульса, а также распределения по координате, импульсу и энергии при t > 0. К чему сводитсядействие оператора exp (iπâ+ â) на ψ(x, t)?Задание №2 (сдать до 29 ноября)5. Найти вариационным методом энергию основного состояния частицы в однородном полетяжести g, когда её движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью. Использо2вать пробную функцию вида ψ(x, λ) = A x e−λx при x > 0. Сравнить ответ с точным значением1/3E0 = 1,856 mg 2 ~2и результатом задачи 1.6. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных состояний частицы массы m,движущейся по окружности радиуса R в поле U (ϕ) = G δ(ϕ), G > 0.

Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид~2 d2−+Gδ(ϕ)ψ(ϕ) = E ψ(ϕ) .2mR2 dϕ2Какова энергия основного состояния для случая, когда mGR2 /~2 1?27. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 , Y10 , Y1−1при повороте системы координат на угол α вокруг оси y. Указание: представить сферическиефункции в видеrrr3 x + iy3 z3 x − iyY11 (θ, ϕ) = −,Y10 (θ, ϕ) =,Y1−1 (θ, ϕ) =.8π r4π r8π rОпределить вероятности возможных значений проекции момента на повёрнутую ось z 0 и среднее значение lz 0 для каждого из указанных состояний.28. Трёхмерный ротатор описывается гамильтонианом Ĥ = ~2 l̂ /2I, где I — момент инерциитела.

Его волновая функция в момент времени t = 0 имеет вид ψ(θ, ϕ, 0) = A sin2 θ cos2 ϕ. Найти2реализующиеся в этом состоянии значения l, lz , их вероятности и среднее значение l̂ . Найтитакже |ψ(θ, ϕ, t)|2 при t > 0.9. Определить среднее магнитное поле в центре атома водорода, создаваемое орбитальнымдвижением электрона, находящегося в 2p-состоянии с определённым значением m проекциимомента на ось z.Задание №3 (сдать до 27 декабря)10. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно использовать модельный гамильтониан видаap̂22 1− Z̃e−,Ĥ =2mяr 2r2где mя — приведённая масса ядер, a — равновесное межатомное расстояние порядка ~2 /me e2 ,а Z̃e2 /2a — энергия диссоциации молекулы.

Найти энергии связанных состояний En,l и прине слишком больших квантовых числах, т.е. при n, l mя /me , получить колебательный ивращательный спектр двухатомной молекулы.11. Найти по теории возмущений главные поправки к трём нижним уровням энергии двумерного осциллятора, обусловленные наличием в его потенциальной энергии слабой нелинейности и слабого отклонения частот колебаний по x и y от соотношения 2 : 1:U (x, y) =mω 2 (4 + ε) x2 + y 2 + αxy 2 .2Проанализировать результаты в двух предельных случаях: а) ε → 0 и б) α (~/mω)3/2 ε~ω.12. Найти по теории возмущений поправки кдвум нижним уровням энергии атома водоро2да, помещённого в поле V (r) = Re 3 x2 + y 2 − z 2 , считая R aБ .13.

Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии и волновые функции стационарных состояний для частицы, двигающейся в однородном поле тяжести g над идеальноотражающей плоскостью. Нарисовать качественно |ψn (x)|2 при n 1 и сопоставить с классической плотностью вероятности dWкл /dx. Сравнить результат расчёта энергии для n = 0с оценками, полученными в задачах 1 и 5, и сделать вывод о справедливости квазиклассикидля низших уровней.3.