1625913495-e5e7675565e286172d8ad611005c37e6 (2021 - Вопросы экзамену)

Экзамен по курсу «Квантовая механика 1»С. Г. Сальников31 декабря 2020 г.Список вопросов «на двойку»11. Размерностный анализ, доведение до числа.2. Определение и коммутационные соотношения основных операторов квантовой механики: r, p, l.3. Соотношения неопределённостей для импульса и координаты, энергии и времени.4. Стационарное и нестационарное уравнения Шредингера, гамильтониан частицы в потенциальном поле.5. Зависимость волновых функций стационарных состояний от времени.6. Волновая функция и энергия связанного состояния в «мелкой» потенциальной яме.7.

Спектр энергии одномерного гармонического осциллятора.8. Спектр энергии атома водорода.9. Волновая функция основного состояния атома водорода...................................................................................................10. Решить задачи из задания (не сдавшие задания не могут претендовать на положительнуюоценку на экзамене).1Знание ответов на эти вопросы не гарантирует получение положительной оценки. Незнание — гарантирует получение двойки. Приветствуются быстрые ответы без долгих размышлений.1Экзаменационные вопросы и задачиВопросы1. Уравнение Шредингера. Вероятностная интерпретация волновой функции.

Оператор Гамильтона.2. Расплывание волнового пакета. Фазовая и групповая скорости.3. Координатное и импульсное представления. Соотношение неопределённостей.4. Операторы физических величин. Операторы координаты и импульса. Среднее значение физической величины.5. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, ортогональность и полнота системы собственных функций.6. Коммутаторы операторов. Одновременная измеримость физических величин.7. Вывод соотношения неопределённостей. Соотношение неопределённостей для координаты иимпульса.8.

Нестационарное уравнение Шредингера. Стационарные решения, задача с начальными условиями.9. Оператор эволюции. Гейзенберговское представление операторов и волновых функций, уравнения движения для операторов в гейзенберговском представлении. Теорема Эренфеста.10. Теорема о вириале. Соотношение между средними кинетической и потенциальной энергией вслучае потенциала, являющегося однородной функцией.11. Свойства решений одномерного уравнения Шредингера. Непрерывный и дискретный спектр.Невырожденность уровней энергии.

Чётные и нечётные решения. Осцилляционная теорема.12. Одномерная прямоугольная потенциальная яма, условия сшивки, получение уравнения на уровни энергии. Мелкая яма. δ-яма.13. Плотность тока вероятности, уравнение непрерывности, сохранение полной вероятности.14. Одномерное рассеяние, коэффициенты отражения и прохождения. Рассеяние на ступеньке.Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение.15. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, уровни энергии и волновыефункции.16. Операторы рождения и уничтожения. Определение уровней энергии и волновых функций гармонического осциллятора в операторном формализме.17.

Движение в периодическом потенциале. Оператор Pсдвига, квазиимпульс. Зонная структураспектра энергии на примере потенциала U (x) = −G ∞n=−∞ δ(x − na).18. Оператор орбитального момента, свойства операторов ˆli , коммутаторы. Собственные значенияи собственные функции, чётность волновых функций с определённым моментом l. Операторповорота.219. Повышающие и понижающие операторы орбитального момента. Построение общих собственных функций операторов l̂2 и ˆlz с помощью операторов ˆl+ и ˆl− .20. Задача двух тел в квантовой механике.21. Разделение переменных в центрально-симметричном поле. Радиальная волновая функция, граничные условия в нуле.22. Решение уравнения Шредингера для атома водорода, уровни энергии и волновые функции.23.

Спектр энергии атома водорода, кратность вырождения уровней En , волновые функции основного и первого возбуждённого уровней.24. Вывод уравнения Шредингера из вариационного принципа. Прямой вариационный метод.25. Стационарная теория возмущений, невырожденный случай. Поправки первого и второго порядка.26. Поляризуемость атома водорода в основном состоянии, общая формула и оценка.27.

Стационарная теория возмущений при наличии вырождения, правильные волновые функциинулевого приближения, секулярное уравнение.28. Эффект Штарка в атоме водорода для состояний с n = 2.29. Силы Ван-дер-Ваальса, зависимость от расстояния между атомами.30. Квазиклассическое приближение, критерий применимости, вид волновых функций, правиласшивки.

Правило квантования Бора-Зоммерфельда.31. Квазистационарные состояния, ширина, энергетическое распределение.32. Квазиклассическое выражение для коэффициента прохождения через потенциальный барьер.Оценка времени жизни квазистационарного состояния, пример α-распада.3Задачи1. Частица движется в поле U (x) = αx4 .

Оценить энергию основного состояния.2. Показать, что среднее значение производной по времени физической величины, не зависящейот времени явно, в стационарном состоянии дискретного спектра равно нулю, в частности, чтоhn |p̂| ni.3. Используя импульсное представление для операторов, докажите, что eiap̂/~ x̂e−iap̂/~ = x̂ + a.4. Доказать, что hˆlx2 i · hˆly2 i > hˆlz i2 /4, где средние значения операторов взяты по состояниям сопределённым орбитальным моментом l и его проекцией m на ось z. Для каких m выполняетсяравенство?5.

Найти произведение неопределённостей ∆x · ∆p для связанного стационарного состояния частицы, движущейся в потенциале U (x) = −G δ(x)?6. Для частицы в однородном поле U (x) = −F0 x найти гейзенберговские операторы координатыи импульса.7. Частица движется в потенциале U (x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a) с условием mGa/~2 = κ0 a 1.Найти распределение вероятности W (x, t), если в начальный момент времени частица была в√состоянии с волновой функцией ψ(x, 0) = κ0 e−κ0 |x+a| .8.

Частица находится в связанном состоянии в потенциале U (x) = −G δ(x). Найти вероятностьтого, что эта частица окажется в состоянии непрерывного спектра после мгновенного измененияпотенциала на U (x) = −αG δ(x).9. Оператор поворота на угол ϕ вокруг оси n можно записать через оператор орбитального момента в виде R = eil̂·ϕ , где вектор ϕ = ϕn. Используя это выражение, покажите, что коммутатор[ˆli , V̂j ] = iεijk V̂k для любого векторного оператора V̂ (т.е. оператора, преобразующегося прималых поворотах по закону V̂ → V̂ + [δϕ × V̂ ]).10. Найти число связанных состояний в прямоугольной потенциальной яме U (x) = −U0 при |x| < a,U (x) = 0 при |x| > a.11.

Частица движется в поле U (x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a). Считая mGa/~2 1, найти приближённые значения энергий связанных стационарных состояний и нарисовать качественносоответствующие волновые функции.12. Найти коэффициенты отражения и прохождения при рассеянии частицы в одномерном потенциале U (x) = −G δ(x).13. Для n-го состояния гармонического осциллятора вычислить, используя операторный метод,среднее значение hn |xp̂| ni.14. Используя явный вид операторов рождения и уничтожения, как дифференциальных операторов, найти волновые функции ψ0 (x) и ψ1 (x), соответствующие основному и первому возбуждённому состояниям одномерного гармонического осциллятора.15. Чему равны средние значения координаты и импульса частицы, находящейся в основном состоянии в поле U (x) = ∞ при х < 0, U (x) = mω 2 x2 /2 при х > 0.16.

Найти уровни энергии двумерного гармонического осциллятора с гамильтонианом Ĥ =mω 2 (x2 +y 2 )+ αxy, считая что |α| < mω 2 .2p̂2x +p̂2y2m+17. Частица находится в поле U (x) = mω 2 x2 /2 в состоянии в волновой функцией ψ(x) = x2C+a2 .Найти вероятности того, что при измерении энергии частицы будут получены значения 12 ~ω иp3~ω.Считать,чтоa~/mω.2418. Используя гейзеберговкое представление для операторов рождения и уничтожения, найти зависимость от времени среднего значения координаты hα |x̂(t)| αi, где |αi — собственное состояниеоператора уничтожения: â |αi = A eiϕ |αi (такие состояния гармонического осциллятора называются когерентными).22~ ∂19. Плоский ротатор (система с гамильтонианом Ĥ = − 2I) в момент времени t = 0 находится∂ϕ2iϕ2в состоянии с волновой функцией ψ(ϕ, t = 0) = A e cos ϕ. Найти среднее значение моментаротатора ˆlz , среднее значение его энергии, а также ψ(ϕ, t > 0).20.

Найти Ye1m (θ, ϕ) — собственные функции оператора ˆlx через функции Y1m (θ, ϕ) собственные дляоператора ˆlz .21. Указать, при каких m и m0 могут быть отличны от нуля матричные элементы каждой издекартовых компонент оператора дипольного момента hm0 |er| mi.22. Найти кратность вырождения уровней энергии трёхмерного изотропного (ωx = ωy = ωz = ω)осциллятора.23. Какие значения проекции момента ˆlz и квадрата момента l̂2 реализуются в состоянии трёхмерного изотропного осциллятора ψnx ny nz (r) = ψ100 (x, y, z) (т.е.