1625913495-2ea17209697b121067f03d8fbcc732ea (2018 - Задачи к билетам)

ÇÀÄÀ×È Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ ÏÎ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ 13-é êóðñ, 5-é ñåìåñòð.Çàäà÷à 1.×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå U (x) = αx4 . Îöåíèòü ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.Çàäà÷à 2.×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå U (x) = −Gδ(x + a) − Gδ(x − a). Ñ÷èòàÿ mGa/h̄2 À 1, íàéòèïðèáëèæ¼ííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèé ñâÿçàííûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è íàðèñîâàòüêà÷åñòâåííî ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ôóíêöèè.Çàäà÷à 3.×àñòèöà äâèæåòñÿ â ïîëå U (x) = Gδ(x + a) − 2Gδ(x).

Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿîïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ è ïîêàçàòü êà÷åñòâåííî (ãðàôè÷åñêè)ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ.Çàäà÷à 4.Íàéòè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì â ïîòåíöèàëå U (x) = −Gδ(x) − 2Gδ(x − a) ïîÿâëÿåòñÿâòîðîå ñâÿçàííîå ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå.Çàäà÷à 5.Íàéòè óñëîâèå, ïðè êîòîðîì â ïîòåíöèàëå U (x) = ∞ ïðè x < 0, U (x) = −Gδ(x − a)ïðè x > 0 ñóùåñòâóåò ñâÿçàííîå ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå.Çàäà÷à 6.6. ×åìó ðàâíÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé ∆x∆p äëÿ ñâÿçàííîãîñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â ïîòåíöèàëå U (x) = −Gδ(x)?Çàäà÷à 7.Îöåíèòü íà êàêîì ïî ñ÷¼òó êâàíòîâîì óðîâíå íàõîäèòñÿ àáñîëþòíî óïðóãèé øàðèê ñìàññîé 1 ã, ïîäïðûãèâàþùèé íà âûñîòó 10 ñì íàä èäåàëüíî îòðàæàþùåé ïëîñêîñòüþâ îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè g?Çàäà÷à 8.Äëÿ n−ãî ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíûéìåòîä, ñðåäíåå çíà÷åíèå < n|xp̂|n >.1Çàäà÷à 9.Íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è óðîâíè ýíåðãèè ëèíåéíîãîîñöèëëÿòîðà, íàõîäÿùåãîñÿ â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.

Ýëåêòðè÷åñêàÿ÷àñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà ðàâíà −|e|Ex.Çàäà÷à 10.Ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, íåçàâèñÿùåé îò âðåìåíè ÿâíî, â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ðàâíîíóëþ, â ÷àñòíîñòè, ÷òî < n|~p |n >= 0.Çàäà÷à 11.×åìó ðàâíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ âîñíîâíîì ñîñòîÿíèè â ïîëå U (x) = ∞ ïðè x < 0, U (x) = mω 2 x2 /2 ïðè x > 0.Çàäà÷à 12.Äëÿ ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ïîëå U (x) = −F0 x íàéòè ãåéçåíáåðãîâñêèå îïåðàòîðûêîîðäèíàòû è èìïóëüñà.Çàäà÷à 13.Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ Áîðà-Çîììåðôåëüäà, íàéòè êâàçèêëàññè÷åñêèéñïåêòð ýíåðãèè â ïîëå U (x) = mω 2 x2 /2 − F0 x.Çàäà÷à 14.Âû÷èñëèòü â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ýëåêòðîíà÷åðåç ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð: U (x) = 0 ïðè x < 0, U (x) = U0 − |e|Ex ïðè x > 0(õîëîäíàÿ ýìèññèÿ).

Óêàçàòü óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè ðàñ÷¼òà.Çàäà÷à 15.Íàéòè ÷èñëî óðîâíåé ýíåðãèè â ïîòåíöèàëüíîéÿìå U (x) = −U0 (1 − |x|/a) ïðè |x| < a,q2U (x) = 0 ïðè |x| > a, äëÿ êîòîðîé U0 ma2 /h̄ À 1.Çàäà÷à 16.Íàéòè ïîëîæåíèå, øèðèíó è âðåìÿ æèçíè íèçøåãî êâàçèñòàöèîíàðíîãî óðîâíÿ â ïîëåU (x) = ∞ ïðè x < 0, U (x) = Gδ(x − a) ïðè x > 0, ñ÷èòàÿ áàðüåð ìàëîïðîíèöàåìûì,ò.å. mGa/h̄2 À 1.2Çàäà÷à 17.Íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è óðîâíè ýíåðãèè ïëîñêîãîðîòàòîðà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè I = µ R02 . Ãàìèëüòîíèàí òàêîé ñèñòåìû èìååò âèäĤ = −(h̄2 /2I) ∂ 2 /∂ϕ2 .Çàäà÷à 18.Ïëîñêèé ðîòàòîðà (ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì Ĥ = −(h̄2 /2I) ∂ 2 /∂ϕ2 ) â ìîìåíòâðåìåíè t = 0 íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(ϕ, t = 0) = A eiϕ cos2 ϕ.Íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîìåíòà ðîòàòîðà lz è ψ(ϕ, t > 0).Çàäà÷à 19.Íàéòè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ìîìåíòà lz , èõ âåðîÿòíîñòè è ñðåäíåå çíà÷åíèå lz âñîñòîÿíèè ñèñòåìû, îïèñûâàåìîì âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(ϕ) = A eiϕ cos2 ϕ.Çàäà÷à 20.Äîêàçàòü, ÷òî ˆlx2 ˆly2 ≥ ( ˆlz )2 /4, ãäå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ âçÿòû ïî ñîñòîÿíèÿìñ îïðåäåë¼ííûì îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì l è åãî ïðîåêöèåé m íà îñü z .

Äëÿ êàêèõ mâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî?Çàäà÷à 21.Íàéòè Ye1m (θ, ϕ) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà ˆlx ÷åðåç ôóíêöèè Y1m (θ, ϕ)ñîáñòâåííûå äëÿ îïåðàòîðà ˆlz .Çàäà÷à 22.Óêàçàòü, ïðè êàêèõ m è m0 ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòûäèïîëüíîãî ìîìåíòà < m0 |~r |m >.Çàäà÷à 23.√ˆÂû÷èñëèòü ñðåäíèå çíà÷åíèÿ < ψ|~l |ψ > äëÿ ψ = Yl 0 è ψ = (Y11 + Y1−1 )/ 2.Çàäà÷à 24.Êàêèå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ìîìåíòà lz è êâàäðàòà ìîìåíòà ~l 2 ðåàëèçóþòñÿ â ñîñòîÿíèèψ100 (x, y, z) ïðîñòðàíñòâåííîãî èçîòðîïíîãî îñöèëëÿòîðà (ò.å. ÷àñòèöû â ïîëå U =mω 2~r 2 /2).3Çàäà÷à 25.Íàéòè êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè ïðîñòðàíñòâåííîãî èçîòðîïíîãî(ωx = ωy = ωz = ω) îñöèëëÿòîðà.Çàäà÷à 26.Íàéòè óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ äèñêðåòíîãî óðîâíÿ ýíåðãèè â öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå: U (r) = −U0 ïðè r < a, U (r) = 0 ïðè r > a.Çàäà÷à 27.Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ óðîâíåé ýíåðãèè ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ ñìîìåíòîì l = 0 â öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå: U (r) = −U0 ïðèr < a, U (r) = 0 ïðè r > a.

Êîãäà â íåé ïîÿâëÿåòñÿ n-é óðîâåíü?Çàäà÷à 28.Ïðÿìûì âàðèàöèîííûì ìåòîäîì íàéòè ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìàâîäîðîäà, èñïîëüçóÿ ïðîáíóþ ôóíêöèþ A e−r/b .Çàäà÷à 29.Ïîêàçàòü, ÷òî â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè àòîìà âîäîðîäà íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå rðàâíî a = h̄2 /me2 , à ñðåäíåå çíà÷åíèå (1/r) = 1/a.Çàäà÷à 30.Ñðàâíèòü ýíåðãèè îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé è ðàçìåðû (íàèáîëåå âåðîÿòíûå çíà÷åíèÿ r)äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ àòîìîâ He+ , Li++ , e+ e− (ïîçèòðîíèé) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìèâåëè÷èíàìè äëÿ àòîìà âîäîðîäà.Çàäà÷à 31.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè β -ðàñïàäå òðèòèÿ 3 H ýëåêòðîí, íàõîäèâøèéñÿ â3+îñíîâíîì ñîñòîÿíèè, ïîïàä¼ò íà ïåðâûé âîçáóæä¼ííûé óðîâåíü√ ýíåðãèè èîíà He â−r/(2a)ñîñòîÿíèå ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ200 = (1 − r/(2a))e/ 8πa3 . Êàê ñâÿçàí çäåñüïàðàìåòð a ñ áîðîâñêèì ðàäèóñîì?Çàäà÷à 32.Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé èìïóëüñà ýëåêòðîíà âîñíîâíîì ñîñòîÿíèè àòîìà âîäîðîäà.Çàäà÷à 33.Íàéòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà Ĥ =h̄2 ˆ(l + 12 )2 , ãäå ˆlz = −i∂/∂ϕ, à µ è R0 ïàðàìåòðû.

Êàêîâà êðàòíîñòü2µR02 zâûðîæäåíèÿ óðîâíåé?4.