1625914114-96fa42e16a4a561c6afd6a82566ba843 (Программа курса и задачи)

Математическая статистикаПрограмма курса лекций, план семинарских занятий и список задачдля студентов биологического отделения факультета естественных наукЛектор — Линке Юлиана ЮрьевнаI. Теория вероятностейПространство элементарных исходов. События. Примеры. Операции над событиями и отношения между ними. Вероятность и ее свойства. Дискретное пространство элементарных исходов.

Классическое определение вероятности. Выборки с возвращением и без возвращения, с учетом и без учета порядка. Элементы комбинаторики. Вероятность на числовойпрямой и плоскости. Геометрическая вероятность. Задача о встрече. Условная вероятность. Формула полной вероятности.Формула Байеса. Независимые события. Схема Бернулли.Случайные величины. Функции распределения и их свойства.

Типы распределений: дискретный, абсолютно непрерывный. Основные семейства распределений. Независимые случайные величины. Формула свертки. Устойчивость по суммированию. Преобразования случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Сходимость по вероятности и ее свойства. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.Центральная предельная теорема. Теорема Муавра – Лапласа. Теорема Пуассона.II.

Математическая статистикаВыборка. Выборочные характеристики: вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма, выборочные моменты. Теорема Гливенко — Кантелли. Точечное оценивание неизвестных параметров. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность. Свойства выборочных моментов. Метод моментов.

Метод максимального правдоподобия.Сравнение оценок. Распределения, связанные с нормальным: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера. Лемма Фишера. Теоремао свойствах выборок из нормального распределения. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы. Проверка гипотез: постановказадачи, основные понятия. Построение критерия с помощью доверительного интервала. Критерий Колмогорова.

Критерийхи-квадрат. Проверка гипотез в случае нескольких выборок. Проверка гипотез о совпадении параметров двух нормальныхсовокупностей. Элементы регрессионного анализа.Итоговая контрольная работа.Литература1. Лотов В.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Новосибирск: НГУ, 2006.2. Чернова Н.И. Теория вероятностей.

Новосибирск: НГУ, 2007.3. Чернова Н.И. Математическая статистика. Новосибирск: НГУ, 2007.4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., 1965.Примерный план семинарских занятий1. Комбинаторика. Классическое определение вероятностей.2. Геометрические вероятности.3. Независимые события. Условные вероятности. Схема Бернулли.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.5.

Контрольная работа №1.6. Распределения случайных величин.7. Числовые характеристики случайных величин.8. Предельные теоремы.9. Контрольная работа №2.10. Точечное оценивание. Выборочные характеристики. Свойства оценок.11. Методы моментов и максимального правдоподобия. Сравнение оценок.12. Интервальное оценивание.13. Проверка статистических гипотез.14. Расчетное задание.Обработка числовых данных1.

По числовой выборке из нормальной совокупности с параметрами α, σ 2 построить доверительные интервалы для: а)α, если σ 2 известно; б) α, если σ 2 неизвестно; в) σ 2 , если α известно; г) σ 2 , если α неизвестно.2. По данным числовым наблюдениям проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью:а) критерия Колмогорова; б) критерия хи-квадрат.3. По данным двум выборкам из нормальных совокупностей проверить гипотезуа) о совпадении дисперсийб) о совпадении средних, если известно, что дисперсии совпадают.1Задачи по теории вероятностей1. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т.

Какова вероятность, что при случайномрасположении букв в ряд он получит слово «МАТЕМАТИКА»?2. Куб, все грани которого окрашены, распиливают на 1000 кубиков. Какова вероятность, что у случайно извлеченногокубика будет ровно две окрашенные грани?3. В полуфинальном забеге участвуют 15 бегунов, среди которых — 3 товарища. Шесть человек из полуфинала проходят в финал. Какова вероятность, что трое друзей выйдут в финал? Решить задачу двумя способами. (Указание: Вкачестве элементарных исходов выбрать как «кучки», так и «цепочки».

)4. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Некто приобретает k билетов. Найти вероятность того, что хотя быодин билет окажется выигрышным.5. Из колоды, насчитывающей 52 карты, наугад извлекают 6 карт. Какова вероятность, что:а) среди них окажется король пик;б) среди них окажется ровно один король;в) среди них окажется ровно пять карт одной масти;г) среди них окажется хотя бы одна пиковая картад) все карты будут иметь различные наименованияе) среди них окажется ровно пять красных карт и четыре картинки;ж) среди них будут представители всех четырех мастей?6. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо от других каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность, чтоа) все выйдут на четвертом этаже;б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже;в) все пятеро выйдут на разных этажах?7.

В чулане находятся n пар ботинок, все пары разных фасонов. Наугад в темноте выбирают r ботинок (r ≤ n). Каковавероятность, что среди выбранных ботинокa) нет ни одной парыб) окажется ровно одна парав) окажется ровно две парыг) окажется хотя бы одна пара?8. N человек, среди которых A и B, случайным образома) рассаживаются за круглый стол.

Какова вероятность, что A и B сядут рядом, причем B слева от A?б) поставлены в ряд. Какова вероятность, что между A и B окажется ровно r человек?9. На книжной полке произвольным образом расставляются n книг. Какова вероятность, что две фиксированные книгиокажутся стоящими рядом?10. Из урны, содержащей n занумерованных шаров, случайным образом без возвращения достают k шаров. Каковавероятность, что номера шаров будут идти в порядке возрастания?11. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что занятымиоказались только два купе.12.

n различных шаров произвольным образом раскладываются по n ящикам. Какова вероятность, что при этом ровноодин ящик окажется пустым?13. Найти вероятность того, что при бросании четырех игральных костей выпадет хотя бы одна единица.14. У человека в кармане n ключей, из которых только один подходит к его двери. Ключи последовательно извлекаются(без возвращения) до тех пор, пока не появится нужный ключ.

Найти вероятность того, что нужный ключ появитсяпри k-м извлечении.15. Числа 1, 2, . . . , n расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3 расположены в порядке возрастания, но не обязательно рядом.16. Из чисел 1, 2, ..., 49 наугад выбираются и фиксируются 6 чисел, считающиеся выигрышными. Некто, желающийвыиграть, наугад называет свои 6 чисел из 49.

Какова вероятность, что среди названных им чисел окажется не менеетрех выигрышных?17. Группа, состоящая из 2n девушек и 2n юношей, делится произвольным образом на две равные по количеству подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе окажется поровну юношей и девушек.18. По k аудиториям произвольным образом расходятся n студентов. Какова вероятность, что в первой аудитории окажется n1 студентов, во второй – n2 студентов, ..., в k-й аудитории – nk студентов, n1 + .

. . + nk = n?19. Отрезок длины l ломается в произвольной точке. Какова вероятность, что длина наибольшего обломка превосходит2l/3?220. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошена точка. Обозначим X, Y ее координаты. Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от площади этойобласти и пропорциональна ей.1) Доказать, что для 0 < u, v < 1 выполнено P(X < u, Y < v) = P(X < u)P(Y < v).2) Найти для 0 < z < 1 а) P(|X − Y | < z),б) P(XY < z),в) P(max(X, Y ) < z),г) P(min(X, Y ) < z).3) Найти P(X + Y < z) для 0 < z < 2.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.4) Какова вероятность того, что уравнение t2 + Xt + Y = 0 имеет действительные корни?На отрезок единичной длины произвольным образом брошены две точки, которые делят отрезок на три части.

Каковавероятность, что из этих частей можно составить треугольник?Из отрезка [0,1] наугад выбирается число. Какова вероятность, что в десятичной записи этого числа вторая цифрапосле запятой будет двойкой?Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы,не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше 2/9.Доказать, что если события A и B независимы, то также независимы события:а) A и B;б) A и B;в) A и B.Пусть события A и B независимы.