tasks (Квант)

Задачи для решения с помощью программыКвантСодержание1 О заданиях1.1 Цель практикума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Тип задач (тем для исследования) . . . . . . . . . .1.3 Характер работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22342 Свободное движение2.1 Стационарные состояния . . . . . .

. . . . . . . . . .2.2 Волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4453 Потенциальная ступень3.1 Стационарное рассеяние частицы ступенью . . . .3.2 Столкновение волнового пакета с резкой ступенью3.3 Размытая ступень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55664 Имитация дельта-функционной ямы/барьера4.1 Уровень в мелкой яме .

. . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Коэффициент прохождения в случае мелкой ямы4.3 Дельта-яма в потенциальной ступеньке . . . . . . .66775 Широкие яма/барьер5.1 Прямоугольная яма с несколькими уровнями . . .5.2 Ход уровней при расширении прямоугольной ямы5.3 Виртуальные уровни . . . . .

. . . . . . . . . . . . .5.4 Волновой пакет, настроенный на виртуальный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5 Надбарьерные резонансы . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Волновой пакет и надбарьерный резонанс . . . . .5.7 Волновой пакет из уровней широкой прямоугольной ямы: колебания на начальной стадии . .

. . .5.8 Расплывание и возрождение волнового пакета вширокой прямоугольной яме . . . . . . . . . . . . .5.9 Модель осцилляторной ямы . . . . . . . . . . . . . .5.10 Модель треугольной (трапецевидной) ямы . . . . .5.11 Плавный барьер . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .5.12 Модель безотражательного потенциала . . . . . . .77886 Пара ям–модель двухатомной молекулы6.1 Пара одинаковых ям–модель ковалентной связи .6.2 Импульсное распределение в двух ямах . . . . . .6.3 Однопараметрическое изменение симметричной пары ям . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189991010101111111112126.4 Осцилляции во времени . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Пара разных ям– модель ионной связи в двухатомной молекуле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Несколько ям–модель «кристалла»7.1 Несколько одинаковых ям . . .

. . . . . . . . .7.2 Переход от непрерывного к зонному спектру7.3 Таммовский уровень . . . . . . . . . . . . . . . .7.4 Модель примесной ямы в длинной молекуле .7.5 Штарковская лестница . . . . . . . . . . . . . .7.6 Блоховские осцилляции . . . . . . . . . . . . . .1313......131314141415158 Квазиуровни8.1 Пара барьеров . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .8.2 Три барьера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Несколько барьеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15151616............9 Зоны для нескольких ям при положительных энергиях 1610 Квазистационарные состояния10.1 Пара барьеров . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .10.2 Несколько барьеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 Квазистационарные состояния для ямы/барьера .10.4 Квазистационарные состояния для "безотражательной"ямы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1616171711 Периодический потенциал11.1 Одна яма на периоде . . . . . . . .

. . . . . . . . . .11.2 Несколько ям на периоде . . . . . . . . . . . . . . . .181818117О заданиях1.1Цель практикумаЭти задачи, решаемые в режиме вычислительного эксперимента с готовой программой, придуманы, чтобы сделать квантовую механику <ручной> и наглядной, прояснить ее понятия изакономерности, развить Вашу интуицию и образное мышление, так необходимые физикам.1 Еще мы хотим дать на буду1Мы начинаем с простой одномерной (1D) квантовой механики, которая важна с образовательной точки зрения и стала интересной для экспериментаторов всвязи с появлением реальной инженерии наномасштабных 1D-потенциалов.

Квантовые явления в соответствующих объектах разнообразны и иногда используютсяс большой выгодой. Например, они работают в ультра-компактных полупроводниковых элементах сложных устройств, которые находятся дома и в кармане укаждого. Забавно, что на компьютере Вы изучаете 1D квантовую механику припомощи электронных процессов, в которых она играет свою роль.2щее пример эффективной компьютерной технологии в сфереобразования и исследований.1.2Тип задач (тем для исследования)Вполне ясным и строгим общим алгоритмом мы за малое времямоделируем гораздо больше квантовых объектов и эффектов,чем при традиционном обучении. Все потенциалы, к которымприменяется этот алгоритм, являются достаточно произвольными кусочно-постоянными функциями одной координаты.2Экспериментируя с параметрами, получая разные графики ичисла необходимо найти и увидеть общие эффекты для некоторых типичных условий.

Детальное сопоставление потенциалов, энергетических спектров, волновых функций, коэффициентов прохождения и других величин позволяет провести взадачах четкую классификацию родственных, но все же разных явлений.3Центральным является вопрос, какие объекты мы при этоммоделируем. На качественном уровне и для учебных целей имимогут быть свободная волна–частица, абстрактные <атом>, линейная молекула, кристалл.

Если говорить о более серьезномописании реальности, то резкие разрывы потенциала могутбыть сделаны лишь для частиц с большой длиной волны посравнению с атомными размерами (субэлектронвольтных элек2Некоторые простые задачи в каждой теме, например, про прямоугольную яму,помогают лучше понять суть алгоритма и анализировать ответы, которые вы можете получить аналитически. Однако в большинстве случаев трудно или невозможно вывести конечные формулы, и остаются лишь численные, хотя и точные (доошибок округления), решения.

Плавные потенциалы с неограниченной точностьюимитируются ступенчатыми при достаточно большом числе отрезков.3При рассмотрении стационарного рассеяния мы выделяем три типа резонансовпо энергии –надбарьерные резонансы, виртуальные уровни и квазиуровни. Первыедва типа являются следствием резонансной интерференции при классически разрешенном движении, но относятся к физически противоположным потенциалам(барьеру, яме). Важно что надбарьерные резонансы при небольшой деформации потенциала сохраняются как таковые, тогда как нижние виртуальные уровни с E > 0могут преобразоваться в истинные уровни (En < 0), либо наоборот. Ширина нижних надбарьерных резонансов как правило меньше ширины нижних виртуальныхуровней.

В свою очередь, узкие квазиуровни являются результатом классическизапрещенного движения–резонансного туннелирования, когда |Ψ(x)|2 в резонаторе(включая крайние туннельные барьеры) очень напоминают их для уровней En ,возникающих при удалении внешних границ этих барьеров на ±∞. Есть такжеродственные каждому из этих трех типов квазистационарные состояния, но ониимеют комплексные энергии En + iGn , Gn < 0, отвечают отсутствию приходящих волн, описывают распад–экспоненциальное уменьшение |Ψ(x)|2 со временем,и уходящие волны имеют комплексные волновые числа, т.е. экспоненциально нарастают по амплитуде при x → ±∞.

Как правило, En из En + iGn лежат несколько ниже положения по E аналогичных стационарных резонансных состояний. Приклассически разрешенном движении в плавном потенциале может вовсе не бытьрезонансов в стационарном рассеянии, но есть квазистационарные состояния!3тронов и ультра-холодных нейтронов).41.3Характер работыУпор в задачах делается на самостоятельный поиск интересных результатов без навязывания хода решения. Сведений поуправлению программой Квант в задачах нет– они вынесены вотдельную инструкцию, основы которой можно быстро освоить, и обращаться к ней по мере необходимости.В задачу полезно вчитываться, чтобы не пропустить главного.

Вопросы носят <наводящий> характер, и иногда их больше,чем необходимо. Мы ожидаем от Вас самостоятельного выбораи учитываем различие индивидуального опыта и склонностей.Как минимум, предполагается, что Вы сможете описать своинаходки (словами и на схематических графиках) товарищам ипреподавателям. Вопросы, живое общение в ходе и после занятий приветствуются, как и совместный поиск правильныхобъяснений найденного. Оценок не ставится – достаточно, если Вы откроете для себя интересное и новое.2Свободное движение2.1Стационарные Ψ-функцииНачнем с самого простого–нормировки состояний непрерывного спектра.

Задайте U(x) = 0 (занулением глубины ямы) искажите, чему равна площадь под кривой |Ψ(x)|2 при E > 0 икакова в нашем случае амплитуда падающей волны? Как нашанормировка связана с другими (например, на поток частиц)?Сравнивая ReΨ(x), ImΨ(x) скажите, какой знак у нас имеетимпульс частицы (откуда падает волна). Чем в данном случаеявляется кривая 3D:Ψ(x)? Как зависит период на этих кривыхот E?4Общий, хоть и не единственный, рецепт получения 1D-кусочно-постоянногопотенциала для электронов такой. Современные полупроводниковые технологиипозволяют выращивать в едином кристалле чередующиеся слои разных составов итолщин с весьма совершенными <гетерограницами>. Управляя составами можнополучить разные потенциалы, которые чувствует электрон в слоях, т.е. резкие разрывы потенциала на гетерограницах.

Перпендикулярно к слоям может быть приложено внешнее однородное электрическое поле, что даст линейный ход потенциалаU(x) в слоях. Вводя в структуру заряд с концентрацией ρ(x) можно еще большеусложнить потенциал. Разумеется, при таком способе получения 1D-потенциаладвижение электрона вдоль слоев остается свободным. Более интересные эффектыотносятся к движению поперек слоев.