1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (Кочин 1987 - Векторное исчисление и начала тензорного исчисления)

шK ? S■Фъ:Лг*£Ше&£н . в. к о ч н нВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИ НАЧАЛАТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ-S V 4Н. Е. К О Ч И НК75-О° р $ \сВ Е К ТО Р Н О Е И С ЧИ С Л ЕН И ЕvJИ НАЧАЛАТ$ЧЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ5 p. 80 к., оереплет1p. 50 к.ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕр!Ш М я т т I[ проверено 1м *-ДБИБЛИОТЕКАПавл^ушрсио! оfп а д т о Ц ч а « но гои шн с л ф г у т аГЛАВНАЯ РЕД А КШ ^Я'^ЁХ Н1/кО -1к0нЕ,1¥1ЧЕС.1ЮЙ ЛИТЕРАТУРЫЛЕНИНГРАД“ю Л * ..« г,v п »МОСКВА193715 4 4 .7 4 .9 —Tщмk.;4'%'L,tp09 »rv / P мс:'"е*глй«у.-‘ИЗСр;■■•гтат’Ицг ’-’и к ‘л»л*с»>с:ы■■■■ - ч 6|;блиота-ю>■ V p«-’: s r * г о<’ £гНК!ОГО ytv’- r o pL_i—С* IOp > г .

*jJI5■C.nMnMI и п м п и м м * * М1МИПВ I— BIHI •с. ВЕЙСШМП А ГЫМДАГЫ ГЫЛЫМИ ПГАПХАНА1CKf'fc'K КГГАПТДР K.Ot'ttФОНД РЕДКИХ книгНАУЧНАЯ «И& ШОТЕ** ИМ. С И ЙСВИ Ш А !ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.Настоящее пособие имеет своей целью дать изучающим его, главнымобразом студентам вузов и втузов, необходимые сведения по вектор­ному исчислению для того, чтобы можно было в дальнейшем изучатьвекторным способом другие дисциплины, как, например, теоретическуюмеханику, гидромеханику, теорию электричества.Курс снабжен большим количеством задач геометрического и элемен­тарно-механического характера, помогающих лучшему усвоению понятийи методов векторного исчисления.Н.

Кокин.ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ.Настоящее издание значительно расширено по сравнению с преды­дущими. В частности, в целях иллюстрации понятий векторного анализавведен ряд примеров физического характера.Основу курса составляют главы о векторной алгебре и векторноманализе. В третьей и четвертой главах даны основы теории аффинныхортогональных тензоров с применением ее к теории упругости и основ*ные элементы общей теории тензоров.Н. Кочин.ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.Настоящее издание почти не отличается от предыдущего; в текствнесены некоторые исправления л устранен ряд замеченных опечаток.Н.

Кочин.ГЛАВА LВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.§ 1. Определение скаляра и вектора. Равенство векторов.1.В математике и физике (в частности, в механике) приходитсяиметь дело с величинами двух родов: одни из величин связаны с поня­тием о направлении в пространстве, другие же имеют чисто числовойхарактер и не связаны с понятием о направлении. Рассмотрим, например,температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость,ускорение, силу. Резкое отличие последних четырех величин от первыхчетырех состоит в том, что с ними должно быть связано понятиео направлении: например, точка может перемещаться вверх или вниз,вперед или назад и т.

д. Первые четыре величины, не связанные с поня­тием о направлении, принадлежат к классу величин, называемых с к а л я ­р а м и . Остальные четыре величины, имеющие определенное направление,относятся к классу величин, называемых в е к т о р а м и .Рассмотрим один из скаляров — температуру. Чтобы охарактеризоватьтемпературу воздуха в данном месте в некоторый момент, мы должныизмерить температуру, например, в градусах Цельсия, полученное число(положительное или отрицательное) даст величину температуры.

Точнотак же мы можем измерить в соответствующих единицах массу тела, егоплотность и т. д. Поэтому мы можем дать следующее определение ска*ляра:С каляром называется величина, характеризующаяся привыбранной единице меры одним кислом.Наиболее типичным скаляром является отвлеченное число. Другиепримеры скаляров мы уже указывали: температура, масса, плотность,энергия.Остановимся несколько на вопросе о сравнении и равенстве скаляров.Очевидно, нельзя сравнивать температуру и массу или температуру иплотность и т. Д.

Обе сравниваемые величины непременно должны обладатьодинаковой размерностью, т. е. единицы их меры должны быть одина­ковым образом связаны с основными единицами. В механике за основныеединицы принимают единицу длины (символ L), единицу массы (символ М)и единицу времени (символ Г ) (вместо единицы массы в техническойсистеме мер вводят в качестве основной единицу силы).

Тогда, например,плотность будет иметь размерность M LT , ибо единица плотности естьплотность однородного тела, имеющего объем, равный единице, приусловии, что масса этого тела также равна единице. Поэтому, при уве-6В екторнаяалгебраличенин единицы массы, например, в два раза, единица плотности такжеувеличивается в два раза; при увеличении же единицы длины в два раза,единица плотности уменьшится в восемь раз. Символ M LT3 выражаеттолько-что указанную зависимость единицы плотности от основныхединиц.Два скаляра одной и той же размерности равны, если приизмерении и х одной и той же единицей меры получаются оди­наковые числа.Рассмотрим теперь один из векторов — скорость точки.

Указаниявеличины скорости, измеренном, скажем, в сантиметрах в секунду, недо­статочно для характеристики скорости. Нужно еще задать направлениедвижения точки. Точно также имеют определенное направление и уско­рение точки и сила, действующая на некоторую материальную точку.Дадим поэтому следующее определение:Вектором называется величина, характеризующаяся, помимоизмеряющего ее в определенных единицах меры числа> еще своимнаправлением в пространстве.Как простейшим скаляром является отвлеченное число, так простей­шим вектором является прямолинейный отрезок АВ, имеющий опреде­ленную величину — длину АВ и определенное направление — от началь*ной точки А к конечной точке В.Мы уже указывали другие примеры векторов: перемещение точки,ускорение, сила.

Каждому такому вектору можно сопоставить прямоли­нейный отрезок, имеющий направление рассматриваемого вектора и длину,равную численному значению вектора (отложенному в некотором мас­штабе).Численное значение вектора называется величиной, модулемили длиной вектора.На чертежах векторы обозначаются стрелками (черт. 1). Направлениестрелки указывает на направление вектора, длина______ а --------% стрелки дает длину вектора.Обычно векторы обозначаются жирными готиЧерт.

1.ческими или латинскими буквами. Иногда мы будемобозначать вектор, начальная точка которого есть Л ,■■■■>а конечная — В, символом АВ.Длину вектора, т. е. его численную величину, мы будем обозначатьтеми же курсивными буквами: а, А, АВ или же будем пользоваться---^знаком модуля: | а \ = а, |А | = Л , \А В \ — АВ.2.Перейдем к вопросу о сравнении и равенстве векторов. Сравниваемые векторы должны обладать одной и той же размерностью, напри­мер, нельзя сравнивать силу со скоростью, и т. п.Д ва вектора а и Ь, обладающие одной и той же разм ер­ностью, мы будем считать равными, если они имеют одно и тоже направление и одну и т у же длину.Равенство двух векторов а и b мы будем обозначать следующимобразом:a = b.(1)Определен и ес к а л я раи в ек то ра7Таким образом, если два вектора имеют неодинаковую длину илинеодинаковое направление, они не могут быть равными.Возьмем какой-нибудь параллелограмм и снабдим две противополож­ные стороны его одним и тем же направлением; полученные векторыбудут, по нашему определению, равными; таким образом положениеначальной точки вектора для нас роли не играет.Легко видеть, что для численного задания вектора нужно указатьтри числа.

В самом деле, одним числом нужно задать величину вектораи двумя числами — его направление (например в астрономии направлениена небесное светило определяют, указывая: 1 ) азимут и высоту или2 ) прямое восхождение и склонение или 3) долготу и широту светила).Равенство двух векторов сводится к равенству попарно трех чисел,эти вектора определяющих. Таким образом одно векторное равенстворавносильно трем скалярным.3. Отметим, что различают векторы трех родов: с в о б о д н ы е , п е р е ­д в и ж н ы е и о п р е д е л е н н ы е в е к т о р ы . Введенные нами векторыотносятся к типу свободных, так как точку их приложения можно вы­бирать по произволу.

У передвижных векторов точку приложения век­тора можно перемещать произвольно вдоль самого вектора, так чтопоследний может лежать на любой части определенной прямой. Приме­ром передвижного вектора является сила, приложенная к твердому телу,так как за точку приложения силы можно взять любую точку на линиидействия силы. Наконец, у определенных векторов точка приложениявектора должна быть зафиксирована. Так например, при рассмотрениидвижения жидкости за точку приложения силы, действующей на какуюлибо частицу жидкости, принимается некоторая точка самой частицы.Изучение передвижных и определенных векторов сводится к изучениюсвободных векторов, почему достаточно ограничиться рассмотрениемтолько последних.В физике приходится рассматривать еще величины тоже направлен­ного характера, но более сложного, чем векторы, строения.

Эти вели­чины называются т е н з о р а м и . Определение их будет дано в главе III.Сейчас укажем только несколько примеров: распределение моментов инер­ции относительно различных осей, проходящих через некоторую точку твер­дого тела, приводит к понятию тензора моментов инерции; распределениенапряжений на различно направленные элементы в некоторой точке упру­гого тела приводит к понятию тензора упругих напряжений и т. д. Нако­нец, в главе IV будет дано еще более общее определенние.4. Скаляры, векторы и тензоры являются объектами, изучаемымив векторном исчислении.Как всякое исчисление, векторное исчисление должно ввести рядопераций с векторами и тензорами, как например сложение, умножение,дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операции определяютсятаким образом, чтобы при их помощи легко было интерпретировать текомбинации векторов, которые приходится изучать в математике, меха­нике и физике.

Так например, в физике очень часто встречается пра­вило параллелограмма: параллелограмм скоростей, сил и т. д. Этомуправилу отвечает операция сложения векторов, которая будет рассмот*рена в следующем параграфе.8В екторнаяалгебраВ результате как основные элементы векторного исчисления — вектори тензор, так и операции с этими элементами, оказываются хорошоприспособленными для изучения тех геометрических, механических и фи­зических явлений, в которых большую роль играет направление величин;поэтому применение векторного исчисления для изучения таких явлений,с одной стороны, упрощает исследование, а с другой стороны, ведет егоболее естественным и наглядным образом, не требуя введения посторон­них элементов, как это имеет место в обычном методе координат.§ 2.

Сложение, вычитание и разложение векторов. Умножениевектора на скаляр. Единичные векторы.1.Чтобы подойти к понятию суммы двух векторов а и Ь, рассмотримчто будет с некоторой точкой Я, совершающей последовательно одноза другим два перемещения, представляемыевекторами а и Ь. Первое перемещение пере­ведет нашу точку из начального положения А(черт. 2 ) в положение В (прямолинейныйотрезок АВ есть вектор а, т. е.