1625913083-347b35c800d7aa625d54b9079aa1f0bd (Аюпова, Таубер 2012 - Задачи и упражнения по курсу Векторный и тензорный анализ)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиАЮПОВА Н.Б., ТАУБЕР Н.М.ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ"ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ(Учебно-методическое пособие)Новосибирск2012Аюпова Н.Б., Таубер Н.М. Задачи и упражнения по курсу "Векторный и тензорныйанализ"/Новосиб.гос ун-т, Новосибирск, 2012. 53 с.Учебно-методическое пособие соответствует программе курса "Векторный и тензорныйанализ", читаемого студентам 3-го курса физического и геолого-геофизического факультетовНовосибирского государственного университета.

В пособии содержатся задачи и упражнения по всемразделам, изучаемым в данном курсе. Имеются теоретические введения и примеры решениятиповых задач. Почти ко всем задачам даны ответы.Рецензент к.ф-м.н., доцент каф.высшей математики ФФ А.И.ЧерныхУчебно-методическое пособие подготовлено в рамках реализации Программы развитияНИУ-НГУ на 2009–2018 г. г. Новосибирский государственныйуниверситет, 20121Ортогональные тензорыПусть при переходе при неподвижном начале из одной ортогональнойсистемы координат в другую ортогональную систему, векторы базисапреобразуется по закону e′i = Sij ej , где (Sij ) — ортогональная матрица, т.е.1, j = kSjs Sks = δjk , Ssj Ssk = δjk , δjk =0, j 6= kТогда координаты вектора x = (x1 , x2 , x3 ) преобразуются следующимобразомx′k = Ski xi .Координаты тензора ранга m преобразуются по законуTi′1 ...im = Sii j1 .

. . Sim jm Tj1 ...jmОперации над тензорами1. Сумма Пусть A = (ai1 ...im ) и B = (bi1 ...im ) — два тензора одинаковой валентности. Их суммой называется тензор C = (ci1 ...im ), компонентами которого являютсяci1 ...im = ai1 ...im + bi1 ...im .2. Тензорное произведение. Пусть A = (ai1 ...ik ), B = (bj1 ...im ). Тогдаих тензорным произведением называетсяC = A ⊗ B = (ci1 ...ik j1 ...jm ) = (ai1 ...ik bj1 ...im )3. Свертка. Для свертывания отождествляем какую-либо пару индексов и производим суммирование.

Например,bk = akii4. Симметрирование. Фиксируем какие-либо индексы и образуемновый тензор по законуbijk = a(ijk) =1(aijk + ajki + akij + aikj + ajki + akji ).3!Операция, приводящая к тензору bijk называется операцией симметрирования тензора aijk по индексам i, j, k.35. Альтернирование. Эту операцию легко понять из следующегоравенства1(aijk + ajki + akij − aikj − akji − ajik )3!В результате получается тензор, кососсимметричный по индексам i,j, k.Приведениетензора к главным осям. симметричногоa11 a12 a13Пусть A = a21 a22 a23  — тензор, x — вектор. x называетсяa31 a32 a33главным (собственным) направлением тензора A, если выполненоcijk =A x = λ x,λ — главное (собственное) значение тензора A.Инварианты тензора A:aI2 = 22a23I1 = a11 + a22 + a33 = λ1 + λ2 + λ3 ; a32 a11 a31 a11 a21 = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 ;++a33 a13 a33 a12 a22 a11 a12 a13 I3 = a21 a22 a23 = λ1 λ2 λ3 .a31 a32 a33 I1 , I2 , I3 — инварианты тензора.Далее в условиях задач элементы в трехмерных матрицах n-го порядка расположены следующим образом.

Зафиксировав какое-либозначение третьего индекса k, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу. В нейкомпоненты данного тензора расположены так, что значение первогоиндекса равно номеру строки, второго — столбца. а третий номер фиксирован. Например, в случае n = 2 компоненты тензора aijk образуют“трехмерную матрицу второго порядка”a111 a121 a112 a122a211 a221 a212 a222Пример 1. Произвести свертку тензора по первым двум индексам14 1959 5aijk =62 2012 34Решение: Пусть bk = aiik .

Тогдаb1 = aii1 = a111 + a221 = 1 + 2012 = 2013b2 = aii2 = a112 + a222 = 1959 + 6 = 1965Пример 2. Найти канонический вид и соответствующий ортонормированный базис для симметричного тензора, заданного в некоторомортонормированном базисе матрицей17 −8 4A = −8 17 −44 −4 11Решение: 1) находим собственные значения матрицы A для этогосоставляем характеристическое уравнение |A − λE| = 0 или−λ3 + 45λ2 − 567λ + 2187 = 0Корни данного уравнения: λ1 = λ2 = 9, λ3 = 27.

2) для определениясобственных векторов решаем соответствующие однородные системыуравнений. Обозначим координаты собственного вектора x1 , x2 , x3 .Тогда для λ1 = λ2 = 9 система вырождается в одно уравнение2x1 − 2x2 + x3 = 0,его решение неединственно, собственным значениям λ1 = λ2 соответствует плоскость, натянутая на два линейно независимых вектора,например a1 = (1, 1, 0) и a2 = (1, 0, −2).

Для собственного значенияλ3 = 27 система уравнений имеет вид− 5x1 − 4x2 + 2x3 = 0− 4x1 − 5x2 − 2x3 = 0решением является собственный вектор a3 = (2, −2, 1).2) вектор a3 ортогонален каждому из векторов a1 и a2 , посколькуони соответствуют различным собственным значениям. Для построения собственного ортогонального базиса применим процесс ортогонализации к векторам a1 и a2 .

А именно пусть b1 = a1 = (1, 1, 0), авектор b2 построим следующим образомb2 = a2 −(a2 , b1 )11 1b1 = (1, 0, −2) − (1, 1, 0) = ( , − , −2)(b2 , b2 )22 251 13) Итак, b1 = (1, 1, 0), b2 = ( , − , −2), b3 = (2, −2, 1). Теперь2 2осталось только нормировать базис.b111= ( √ , √ , 0)| b1 |221b212= (√ , −√ , −√ )e2 =| b2 |6662 2 1b3= ( ,− , )e3 =| b3 |3 3 39 0 0Ответ: канонический вид матрицы 0 9 0  в базисе0 0 27111122 2 1e1 = ( √ , √), e2 = ( √ , − √ , − √ ), e3 = ( , − , ).3 3 322, 0666Задачиe1 =1.1. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов равенстваa×b = b×c = c×aвыполняются тогда и только тогда, когда a + b + c = 01.2. Доказать тождества (a, a) (a, b) 2(a) | a × b | = (a, b) (b, b)(b) a ×(b × c) = b(a, c) − c(a, b) (a, c) (a, d) (c) (a × b, c × d) = (b, c) (b, d)1.3.

Показать, что если тензор P обладает тем свойством, что векторыa′ = P · a,b′ = P · b,c′ = P · cгде a, b, c — три фиксированных некомпланарных вектора, оказываются компланарными между собой, то все векторы P ·u, гдеu — любой вектор, компланарны и найдется такой отличный отнуля вектор v, что P · v = 0. Обратно из наличия такого вектораv следует компланарность всех P · u.61.4. Показать, что если тензор P обладает тем свойством, что векторыa′ = P · a,b′ = P · b,c′ = P · c,где a, b, c — три фиксированных некомпланарных вектора, оказываются коллинеарными между собой, то все векторы P · u,где u - любой вектор, коллинеарны и найдутся два таких неколлинеарных вектора v и w, что P · v = 0 и P · w = 0 Обратноиз наличия двух такого векторов v и w следует коллинеарностьвсех P · u.1.5. Если для трёх некомпланарных векторов a, b и c мы имеемP · a = 0,P · b = 0,P ·c=0то P · u = 0 для любого вектора u.1.6.

Если P - тензор, r и r′ - радиус-векторы, то преобразованиеr′ = P · r можно рассматривать, как преобразование пространства. Выяснить, в чём состоит это преобразование для следующих тензоров P :1) P = α I (α - положительное число),2) P = I + a a,3) P = 2 n n − I, где n - единичный вектор,4) P = I + a b, где вектор b перпендикулярен вектору a,5) P = e′ 1 e1 + e′ 2 e2 + e′ 3 e3 , где e1 , e2 , e3 и e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 - две тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов.1.7.

Пусть u = (u1 , u2 , u3 ), тогда u × можно рассматривать как тензор второго порядка, действие которого на любой вектор определено формулойu × v = e1 (u2 v3 − u3 v2 ) + e2 (u3 v1 − u1 v3 ) + e3 (u1 v2 − u2 v1 )Вычислить компоненты тензора u ×1.8. Пусть A произвольный кососимметрический трехмерный тензор.Найти вектор u, такой, что A v = u × v для произвольного вектора v71.9. Дан тензор P . Разложим его на симметричную и антисимметричную части и обозначим через ω вектор, соответствующийантисимметричной части см. задачу 1.8. Доказать формулуu · (P · v) − v ·(P · u) = −2ω · (u × v),где u и v - любые векторы.1.10.

Пусть v = (v1 , v2 , v3 ) и T v = (−2v1 + 3v3 , −v3 , v1 + 2v2 ). Определить компоненты тензора T .1.11. Вашингтон имеет координаты 39o с.ш и 77o з.д., Москва имеет координаты 56o с.ш и 38o в.д., а Вашингтон 39o с.ш и 77oз.д. Принимая радиус Земли за 6400 км, вычислить расстояниемежду Москвой и Вашингтоном по дуге большого круга.Указание: Представьте векторы, направленные из центра Землик городам и используйте скалярное произведение.1.12. Дан тензор второго ранга T . Пусть тензор S имеет компонентыSij = Tji .

Доказать симметричность тензора T S.1.13. Пусть a и b — данные трехмерные векторы, x — неизвестныйвектор. Не расписывая покомпонентно, показать, что единственным решением линейного алгебраического уравненияx+a×x = bявляетсяb +(a · b) a + b × a1 + a·aУказание Представить x = A a +B b +C a × b и решить уравнение относительно A, B, C.