Деменков Н.П. - Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина - 2015 (Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина, Деменьков Н,П.)

Московский государственный технический университетимени Н. Э . БауманаП.П. ДеменковВычислительные методырешения задач оптимальногоуправления на основе принципамаксимума ПонтрягинаУчебное пособиеМоскваИЗДАТЕЛЬСТВОМГТУ им. Н . Э. Баумана2О15УДК681.5(075.8)ББК 32.965ДЗОИздание доступно в электронном виде на порталеebooks.bmstu.ruпо адресу: http ://ebooks.bmstu.ru/catalog/200/Ьook 1240.htmlФакультет «Информатика и системы управления»Кафедра «Системы автоматического управления»РекомендованоРедакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э.

Бауманав качестве учебного пособияРецензенты:канд. техн. наук, доцент В.М. Недашковский,канд. техн. наук, доцент Е.Д. ПанинДеменков, Н. П.ДЗОВычислительные методы решения задач оптимального управ-ления на основе принципа максимума Понтрягинапособие/Н. П. Деменков.им. Н. Э. Баумана,2015. -- Москва :75, [5] с.: ил.:учебноеИздательство МГТУISBN 978-5-7038-4191-4Изложены примеры решения задач оптимального управления наоснове принципа максимума Понтрягина.Для студентов, изучающих дисциплины «Оптимальное управле­ние детерминированными процессами», «Управление в техническихсистемах», «Основы автоматики и системы автоматического управ­ления».

Издание будет полезным также для научных работников, ин­женеров, аспирантов и студентов старших курсов технических уни­верситетов.УДКББК©©ISBN 978-5-7038-4191-4681.5(075.8)32.965МГТУ им. Н.Э. Баумана,2015Оформление. ИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана,2015ПРЕДИСЛОВИЕОптимизация являетсяоднойизважнейшихпроблем какнауки, так и повседневной человеческой деятельности, ибо чело­веку органически присуще стремление к достижению наилучшего(оптимального) результата.Оптимальной назьmают такую систему автоматического управ­ления, в которой полностью в каком-либо формальном смысле ис­пользуются динамические возможности объекта для совершения пе­реходных процессов при заданных ресурсных ограничениях. Управ­ление, обеспечивающее в системе оптимальные процессы, называютоптимальным.Оптимальное управление-это задача проектирования системы,обеспечивающей для объекта управления или процесса вьmолнениезакона управления или управляющую последовательность воздей­ствий, реализующих максимум или минимум заданной совокуп­ности критериев качества системы.Для проектирования оптимальных системходиморасполагать,во-первых,методамиуправления необ­решенияприкладныхзадач синтеза, во-вторых, техническими средствами для простой инадежной реализации законов оптимального управления.Решение задачиоптимизации с помощью вычислительныхсредств включает следующие обязательные составляющие: поста­новку задачи,создание математической модели, разработку алго­ритма (метода) решения задачи, программную реализацию алго­ритма,сборготовностьисходныхданных,анализтехническихсредств,персонала к решению задачи.Постановка задачи определяет успех всей работы.

При этомнеобходимо учитыватьследующиефакторы:важность задачи,принципиальную возможность ее решения на ЭВМ, существова­ние различных вариантов подобного решения. Степень важностирешения задачи обусловливается уровнем пользователя, т. е. лица,которому нужны результаты. Очевидно, что при оптимизации от-3дельного технологического процесса результаты решения не будутпредставлять интерес для руководства предприятия.Чем вышеуровень пользователя, для которого решается задача, тем болееэффективным будет ее результат.

Наибольшую эффективностьдаютмногоуровневыезадачиоптимизациисистемывцеломивходящих в нее элементов. Принципиальная возможность решениязадачи на ЭВМ не вызывает сомнений. Так, применение ЭВМ мо­жет обеспечить оптимальное распределение имеющихся ресурсов,но не может заменить ресурсы, если их недостаточно. Следуетчетковидетьпринципиальнуювозможностьналичияразличныхвариантов решения. Если такой возможности не существует, топостановка задачи оптимизации не имеет смысла.Математическая модель предназначается для описания содержа­тельной постановки задачи с помощью математических соотношенийи представляет собой аналитическую зависимость между перемен­ными, значения которых нужно найти в результате решения задачи, иисходными данными, влияющими на искомые величины. При выборетипа модели целесообразно учитывать наличие программного обес­печения.

Составление математической модели-творческий про­цесс. Для успешного его выполнения составителю модели необходи­модетальнои тщательноизучитьобъект управления.Важнойхарактеристикой математической модели является ее размерность,т. е. число искомых переменных и заданных условий задачи.Под алгоритмом решения задачи понимают последователь­ность действий, преобразующих исходные данные в искомый ре­зультат решения задачи.

Одна и та же задача может быть решенаразличными методами. Каждый метод (или алгоритм) имеет своипреимущества при решении задач конкретного вида. Знание алго­ритма чрезвычайно полезно для четкого понимания и трактовкиполученных результатов,а также дляоценки влияния исходныхданных на результат решения.Алгоритмы решения задач оптимизации достаточно сложны итрудоемки для программной реализации, поэтому решение задач оп­тимизации следует выполнять с помощью пакетов прикладных про­грамм, в которых реализованы те или иные методы оптимизации.Сбор исходных данных представляет собой наиболее трудо­емкую часть работы по решению задачи оптимизации.

Под исход-4ными данными понимают такие элементы математической модели,которые с помощью определенного алгоритма преобразуются вискомые величины. Поэтому исходные данные следует собиратьпосле составления математической модели. Сбор исходных дан­ных до составления математической модели, как это часто практи­куется, приводит к тому, что часть собранных данных оказываетсяизбыточной, так как не входит в модель, в то же время некоторыхданных недостаточно.При анализе технических средств следует выяснить вопрос овозможности функционирования используемого пакета приклад­ных программ при достаточной оперативной и внешней памятидля решения задач реальной размерности.Вопрос готовности персонала к выполнению оптимизации яв­ляется важнейшим, так как в конечном итоге успех или неуспех врешенииопределяетсячеловеком,егожеланиемиготовностью.В зависимости от участия в работе, связанной с задачей оптимиза­ции, персонал может быть разделен на три группы:результатовтимизации,2)1) потребителиспециалисты по содержательной части задачи оп­разработчики3) эксплуатационники --специалисты по моделированию исотрудники вычислительного центра.Перед разработчиком системы управления всегда стоит про­блема формирования в системе наилучших (оптимальных) переход­ных процессов.

Чаще всего возникает необходимость обеспечениямаксимального быстродействия исполнительных механизмов илиминимальных затрат энергии на совершение переходных процессов.При этом ограничены внутренние переменные объекта или допол­нительно оговорены условия работы. Например, при оптимизациибыстродействия системы ограничены, как правило, управляющиевоздействия; при оптимизации затрат энергии-длительность пе­реходных процессов. Таким образом, инженер-проектировщик дол­жен стремиться к максимальному удовлетворению заданных требо­ваний при известных ресурсных ограничениях.Решая конкретную задачу оптимизации, исследователь преждевсего должен выбрать математический метод, который приводилбы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычис­ления или давал возможность получить наибольший объем ин­формации об искомом решении.

Выбор того или иного метода в5значительной степени определяется постановкой оптимальной за­дачи, а также используемой математической моделью объекта оп­тимизации.Цель учебного пособия-ознакомление с вычислительнымиаспектами решения задач оптимального управления на основе со­временных подходов и программных средств. В издании описанывычислительные методы решения задач оптимального управленияна основе принципа максимума Понтрягина.В гл.1рассмотрены решения задач синтеза оптимальных зако­нов управления на основе принципа максимума.Гл.2посвящена решению конкретных задач оптимальногоуправления: управление спутником на орбите, движение летатель­ного аппарата в атмосфере, спуск космического аппарата на по­верхность планеты и др .

В качества инструмента исследованияпредложено применять либо МАTLAB, либо разработанный на ка­федре «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Бау­мана программный комплекс «Методы оптимизации».Подробное обсуждение примеров делает пособие приемлемымкак для использования в учебной аудитории, так и для самостоя­тельного изучения.ГЛАВА1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫПРИНЦИПА МАКСИМУМАПринцип максимума применяют для решения задач оптимиза­ции процессов, описываемых системами дифференциальных урав­нений.

Достоинством математического аппарата принципа макси­мумаявляетсято,чторешениеможетопределятьсяввидеразрывных функций; это свойственно многим задачам оптимиза­ции, например задачам оптимального управления объектами, ко­торые описывают линейными дифференциальными уравнениями.Нахождениеоптимального решенияс помощью принципамаксимума сводится к задаче интегрирования системы дифферен­циальных уравнений процесса и сопряженной системы для вспо­могательных функций при граничных условиях, заданных на обо­их концах интервала интегрирования, т. е.

к решению краевойзадачи. На область изменения переменных могут быть наложеныограничения. Систему дифференциальных уравнений интегриру­ют, применяя обычные программы на цифровых вычислительныхмашинах. Максимизацию функции Гамильтона для нахожденияоптимального управления выполняютпрямыми методами.Принцип максимума для процессов, описываемых дифференци­альными уравнениями, при некоторых предположениях является до­статочным условием оптимальности. Поэтому дополнительной про­верки на оптимум получаемых решений обычно не требуется.Для дискретных процессов принцип максимума в той же фор­мулировке, что и для непрерывных, несправедлив.