rybalev optimal systems_(отсюда брал лекции) (Теория автоматического управления, оптимальные системы (теоретические сведения с примерами решения задач и задания к практическим и лабораторным работам), Рыбаев А.Н.)

Федеральное агентство по образованию Российской ФедерацииАМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТЭнергетический факультетА.Н. РыбалевТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯЗАДАЧ И ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ И ЛАБОРАТОРНЫМРАБОТАМУчебное пособиеБлаговещенск2006ББК 32.965я73Р???Печатается по решениюредакционно-издательского советаэнергетического факультетаАмурского государственногоуниверситетаА.Н.

РыбалевТеория автоматического управления. Оптимальные системы. Теоретические сведения с примерами решения задач и задания к практическим и лабораторным работам. Благовещенск, Амурский гос. ун-т, 2006, 107 c.Предназначено для студентов специальности 220301 и других, изучающих дисциплину «Теория автоматического управления» и выполняющихпо данной дисциплине практические и лабораторные работы. Может быть использовано также при выполнении других работ, связанных с расчетами и моделированием систем автоматического управления.Рецензенты:Е.Л.

Еремин - профессор кафедры информационных и управляющихсистем, декан факультета математики и информатики АмГУ, докт. техн. наук.С.Н. Воякин - зав. кафедрой электропривода, электроники и электрооборудования автомобилей и тракторов ДальГАУ, канд. техн. наук, доцент;© Амурский государственный университет, 20052ВВЕДЕНИЕПособие включает теоретические сведения и задания на практические илабораторные работы по разделу «Оптимальное управление» курса «Теорияавтоматического управления».

Оно охватывает следующие темы, изучаемые вданном разделе: постановка и классификация задач оптимального управления,вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина, динамическоепрограммирование Беллмана.Цель пособия - дать возможность студентам самостоятельно освоитьтеоретический материал одного из основных разделов «Теории автоматического управления». Содержание материала, изложенного в пособии, полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта и рабочей программе данной дисциплины для специальности 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств».Изучение теории сопровождается комплексом практических и лабораторных работ, связанных с выполнением студентами индивидуальных заданийпо всем темам курса (за исключением постановочной).На практических занятиях ведется разбор задания, составляются необходимые уравнения и находятся их общие решения, проектируются модели ит.д.Лабораторные работы выполняются с применением персональных компьютеров и включают численное решение уравнений и имитационное моделирование.В первой главе излагаются вопросы, связанные с постановкой задач оптимального управления и их классификацией.Вторая глава посвящена методам решения задач оптимального управления с помощью классического вариационного исчисления.

Поскольку раздел«Вариационное исчисление» изучается студентами в рамках курса «Математика», теоретические сведения, приведенные в пособии, ограничиваются в основном вопросами применения теории к решению практических задач. С этойцелью достаточно подробно проанализированы пять примеров задач, различных по постановке и набору ограничений.В третьей главе рассмотрен принцип максимума Понтрягина и его применение к линейной задаче максимального быстродействия. Приведены двапримера решения задачи на максимальное быстродействие с нахождением оптимальной программы и оптимальной стратегии управления.Четвертая глава посвящена методу динамического программированияБеллмана.

Подробно рассмотрена задача аналитического конструирования регулятора, минимизирующего квадратичный критерий. Показан вывод уравнения Риккати. Приведен пример решения задачи.В пятой главе - примеры решения практических задач оптимальногоуправления электроприводом постоянного тока. Задание по материалу главыможет составлять часть задания на курсовой проект по курсу «Теория автома3тического управления» (третья часть проекта) или выполняться независимо - врамках практических и лабораторных работ по дисциплине.Шестая глава содержит краткие сведения о средствах программнойсистемы Matlab, которые использовались при решении задач оптимальногоуправления, приведенных в примерах пособия.

Эти средства будут использованы студентами при выполнении их индивидуальных заданий.41. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯИ ИХ КЛАССИФИКАЦИЯОптимальным называют наиболее целесообразное в некотором смыслеуправление. В большинстве случаев перевести объект управления из одногосостояния в другое (из исходного в заданное) можно множеством способов.Эти способы реализуются с помощью различных законов управления. Частосреди них можно выбрать такой закон, чтобы переходной процесс был оптимальным по определенному критерию (критерию оптимальности). В качествекритерия может выступать, например, минимум энергии, затраченной на процесс перехода, или минимум времени перехода. Критерий оптимальностиформализуется в виде некоторого функционала, экстремум которого (минимум или максимум) свидетельствует, что переходной процесс и управлениеоптимальны.Общий вид функционала следующий:tкJ = g 0 (X ( t 0 ), X ( t к ), t 0 , t к ) + ò f 0 (X ( t ), U( t ), t )dt ,(1)t0где X - вектор переменных состояния объекта управления; U - вектор управляющих воздействий; t0,tк - начальный и конечный моменты времени переходного процесса.Функция g0 определяет «качество» граничных состояний, в том числе,возможно, связанное величинами t0,tк.

Функция f0 определяет «качество» траекторий X(t) и управления на интервале t0 …tк.Задача, в которой отыскивается экстремум функционала (1), называетсязадачей Больца. В частных случаях функционал (1) может принимать виды:J = g 0 (X ( t 0 ), X ( t к ), t 0 , t к ) ,(2)tкJ = ò f 0 (X ( t ), U( t ), t )dt .(3)t0В первом случае задача поиска экстремума называется задачей Майера,во втором - задачей Лагранжа.Примерами задачи Майера являются: задача максимального быстродействияJ = t к ® min ,(4)задача на максимальную «дальность» перемещенияJ = x ( t к ) ® max .(5)В качестве примера задачи Лагранжа можно привести задачу на минимальное энергопотребление:5tкJ = ò u 2 ( t )dt ® min .(6)t0Вид подынтегральной функции критерия (6) объясняется тем, что мощность управляющего сигнала, как правило, пропорциональна квадрату его амплитуды.

Кроме того, использование второй, а не первой степени переменнойu(t) позволяет учесть то обстоятельство, что в переходном процессе управление может быть отрицательным. В частных случаях, когда известно, чтоуправление всегда положительно, функционал может быть и более простым:tкJ = ò u ( t )dt ® min .(7)t0Можно показать, что задачи Майера и Лагранжа имеют одну и ту жестепень общности, т.е.

путем определенных преобразований можно задачу, записанную первоначально, например, в качестве задачи Лагранжа, представитьв виде задачи Майера и наоборот [3].Важным обстоятельством при решении задач оптимального управленияявляется то, что компоненты векторов X и U не могут рассматриваться как независимые функции времени, способные принимать любые значения. На векторы X и U обязательно накладываются некоторые ограничения в виде уравнений связи, предельно допустимых значений и т.д. Как минимум, стоит указать на дифференциальные уравнения самого объекта управления, связываю& и U.

Таким образом, задачи оптимальногощие компоненты векторов X, Xуправления - это всегда задачи на условный экстремум.Разделяют «классические» (в виде равенств) и «неклассические» (неравенства) ограничения. «Классические», в свою очередь, делятся на голономные, неголономные и изопериметрические.Голономные ограничения представляют собой алгебраические уравнения связи искомых функций X(t) и U(t), записанные для удобства в виде равенств нулю:ji (X, U, t ) = 0 , i =1…r.(8)Для задач оптимизации динамических режимов работы объектов голономные ограничения нетипичны. Кроме того, как правило, от этих ограничений можно избавиться еще на этапе формулировки задачи путем соответствующих преобразований. Поэтому в дальнейшем они не рассматриваются.Неголономные ограничения представляют собой дифференциальныеуравнения:& , U, t ) = 0 , i =1…n.ji ( X, X(9)Это дифференциальные уравнения объекта управления, а также, возможно, идругие уравнения, позволяющие учесть дополнительные ограничения.Изопериметрические ограничения имеют вид:6tкò ji (X, U, t )dt = ci = const , i =1…k.(10)t0В качестве примера такого ограничения можно привести ограничениена расход энергии в переходном процессе, которое можно представить в виде:tкòu2( t )dt = c = const ,(11)t0или, если заведомо известно, что u(t) принимает только положительные значения:tкò u (t )dt = c = const .(12)t0С помощью стандартного приема изопериметрические ограниченияпреобразуются в неголономные.

Этот прием предполагает введение дополнительных переменных, производные которых по времени равны подынтегральным выражениям из (10)x& n + i = ji (X, U, t ) , i =1…k.(13)Условно говоря, новые переменные «расширяют» исходную системууравнений объекта, представляющую неголономные связи, и поэтому обычнообозначаются как xn+1, xn+2 и т.д. Подставляя (13) в (10), получим:tкtкt0t0ò ji (X, U, t )dt = ò x& n + i dt = x n + i (t к ) -x n + i ( t 0 ) = ci .(14)Для упрощения полагают xn+i(t0) = 0, тогда xn+i(tк) = сi.Типичным примером неклассических ограничений является ограничения на максимальные значения управляющих величин (ограничение управления по модулю):u i £ u i, max , i = 1…m.(15)Другой вид дополнительных условий, накладываемых на задачу, - этограничные условия, определяющие значения переменных объекта в начальныйи конечный моменты времени переходного процесса.