54676_47af5332d12a983f86c22596d809b788 (Оптимальное управление в классическом вариационном исчислении, Деменьков Н.П.)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаН.П. ДеменковОптимальное управлениев классическом вариационном исчисленииУчебное пособиеМоскваИЗДАТЕЛЬСТВОМГТУ им . Н . Э. Баумана2О17УДК519.3(075.8)ББК 22.161.8Д30Издание доступно в электронном виде на порталепо адресу:ebooks.bmstu.ruhttp :// ebooks. bmstu.ru/catalog/200/Ьook 1678 .htmlФакультет «Информатика и системы управления»Кафедра «Системы автоматического управления»Рекомендовано Редакционно-издательским советомМГТУ им. НЭ.

Баумана в качестве учебного пособияРецензенты:д-р техн. наук профессор К.А. Неусыпинканд. техн. наук доцент В.А. СухановДеменков, Н. П.Д30Оптимальноеисчисленииуправление: учебноепособиев/классическомвариационномН. П. Деменков.дательство МГТУ им. Н . Э. Баумана,2017. -- Москва : Из­133, [3] с. : ил.ISBN 978-5-7038-4714-5Приведены необходимые теоретические сведения и даны примерырешения задач оптимального управления на основе классического вариа­ционного исчисления.Для студентов МГТУ им. Н.Э.

Баумана, обучающихся по направле­нию «Управление в технических системах» и изучающих дисциплины«Оптимальное управление детерминированными процессами»,«Алго­ритмическое и программное обеспечение систем управления», «Управле­ние в технических системах», «Основы автоматики и системы автомати­ческого управления».УДК519.3(075.8)ББК 22.161.8© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017© Оформление. ИздательствоISBN 978-5-7038-4714-5МГТУ им.

Н.Э. Баумана,2017ПредисловиеПри управлении производственными процессами и техниче­скими объектами приходится выбирать из всех возможных вари­антов наилучший(оптимальный),что требует развития такогораздела математики, как вариационное исчисление.В данном учебном пособии рассмотрены вопросы примене­ния классического вариационного исчисления к решению задачоптимального управления. Так как задачи оптимального управ­ления-это задачи на условный экстремум функционала, то онипохожи на задачу Лагранжа в классическом вариационном ис­числении.

Однако задачи оптимального управления имеют рядсущественных отличий от задач в классическом вариационномисчислении. Они заключаются в следующем.Существуют ограничения на управление1.торию2.u(t) Е И итраек-x(t) Е Х.Подынтегральная функцияLв критерии качества не зави­сит от и, т. е. существуют первые интегралы уравнений Эйлерадля переменных ui (t).3.Управленияu/t)являются кусочно-непрерывными функ­циями и могут иметь точки разрыва первого рода, в то время каквклассическомвариационномисчислениивсенеизвестныефункции дважды непрерывно дифференцируемы.Методы классического вариационного исчисления не позво­ляют учитывать при решении задач многие ограничения, реальносуществующие в управляемых процессах.

В силу этого матема­тический аппарат вариационного исчисления использовался припроектировании систем управления крайне редко и давал весьмаограниченный эффект, да и то лишь в частных задачах с приме­нением искусственных приемов.Вариационное исчисление удалось распространить на задачиоптимального управления только после опубликования принципамаксимума Л.С. Понтрягина усилиями ученых разных стран.3Однако получаемые таким образом условия оптимальности ока­зываютсяаналогичнымипринципумаксимумаиявляютсяпосравнению с ним более слабыми.

Именно в вариационном исчис­лении область допустимых значений вектора управления обяза­тельно должна удовлетворять условию связанности. В принципемаксимума эта область может быть любым множеством вектор­ного пространства, например состоять из совокупности изолиро­ванных точек.Таким образом, методами классического вариационного ис­числения могут быть решены задачи оптимального управлениябез ограничений на траекторию и управление и некоторые задачис ограничениями.Напрактикепредпочтениеприопределенииотдается ,как правило,оптимальногопринципууправлениямаксимума илидинамическому программированию Р. Беллмана. Однако изуче­ние вариационного исчисления как одного из методов построенияоптимального управления позволяет более глубоко понять со­держание математических методов теории оптимального управ­ления и их возможности.

Это и послужило основанием для напи­сания данного учебного пособия.Цель учебного пособия состоит в изложении в доступнойформе примеров решения задач оптимального управления на ос­нове классического вариационного исчисления и в рассмотренииалгоритмов решенияоднокритериальнойзадачиоптимизации,использующих современные информационные средства с приме­нением классического вариационного исчисления. Вприведенымальногоразличныеуправленияматематическиенепрерывнымипостановкипособиизадачопти­детерминированнымиси­стемами и пути их решения методами классического вариацион­ного исчисления, изложены методы повышения эффективностиэтих алгоритмов, представлено большое число примеров решениятестовых и практически значимых задач оптимизации .Задачи оптимального управления являются задачами миними­зации на множестве функций. Поэтому в первой главе рассмот­рены необходимые условия оптимальности в различных поста­новках.Вторая глава посвящена вычислительным аспектам, возни­кающим при управлении объектом с обратной связью по состо­янию.4В классическом вариационном исчислении исследуются толь­ко гладкие траектории движения системы, в то время как во мно­гих задачах управления область допустимых траекторий и управ­лений оказывается ограниченной и замкнутой.

Поэтому в третьейглаве изложены методы решения задач оптимизации динамиче­ских систем при наличии ограничений на траекторию.В четвертой главе рассмотрены различные математическиепостановкизадачоптимальноготерминированнымисистемамиуправленияипутиихнепрерывнымирешенияде­методамиклассического вариационного исчисления .В результате освоения материала учебного пособия студентыприобретут навыки и умения по расчету оптимальных системуправления методами классического вариационного исчисления.Глава1Необходимые условия оптимальностиЕсли математическое описание системы управления и огра­ничения даны в виде дифференциальных или алгебраическихуравнений и функционалов типа определенных интегралов, а ко­ординаты управления и входящие в уравнения функционалыфункции имеют2nнепрерывных производных (п-порядокуравнения объекта управления), то задача оптимизации в прин­ципе может быть решена методами классического вариационногоисчисления.Классическое вариационное исчисление применяется в техслучаях , когда ограничения на переменные состояния и управле­ния отсутствуют.

Это бывает, когда рассматриваются малые от­клонения вектора состояниях и вектора управленияиот ихустановившихся значений.1.1. Необходимые условия оптимальностина фиксированном интервале времени1.1.1.Оптимизация при отсутствии краевых условийна правом конце траекторииРассмотрим следующую задачу Больца. Определить непре­рывнуювектор-функциюи (t)идифференцируемуюфункцию х (t) со значениями из пространстввектор­Rm и Rn соответ­ственно, доставляющие минимум функционалуtkJ( х' и) =JL ( х ' и ' t)dt + Gk [ х (tk), tk],(1 .1)toгдеL-скалярная, непрерывно дифференцируемая функция сво­их аргументов, при условиях6J (х (t), и (t), t ), х (to) = хо, to ~ t ~ tk,х =Здесьf-(1.2)непрерывно дифференцируемая вектор-функция, аto и tk заданы.Прибавив к выражениюных уравнений(1.1)дляJсистему дифференциаль­с некоторым множителем р (t), в результате(1 .2)получим вспомогательный критерий качестваtkJ1 = f{L(x,u,t) +J5T [J(x(t),u(t), t)-x]} dt+Gk[x(tk),tk], (1.3)toДля удобства введем вспомогательную скалярную функцию Н(гамильтониан) :Н(х, и, ]5,t) = L(x, u,t)+pт(t)f(x(t), u(t),t).Интегрируя по частям подынтегральное выражение в(1.4)(1 .3),получимtkf[Н(х, и, р, t) + рт (t) ]x(t)dt.+(1.5)toРассмотрим вариацию критерия качестващую вариациямзначениях t 0 и8иJ 1,соответствую­вектора управления и (t) при фиксированныхt k:+ ан 8и]dt.(1 .6)диОпределять непосредственно вариацииданными вариациями8 и (t),8 х (t),вызванные за­было бы довольно громоздко, поэтому7выберем множитель р (t) таким образом, чтобы коэффициентыпри вариациях 8 х (t) и8 х (tk) в (1.6) обратились в нуль.Тогда(1 .7)с граничным условием(1 .8)В этом случае уравнение(1.6) примет видtk8.!1 =рт (t0 ) 8х ( t0 ) + f~1; 8udt.(1.9)toВыражение(1.9) для 8J1 называется первой вариацией кри­терия качества J.

Из (1 .9) следует, что функция р \t0) - этоградиент критерия качества J, поскольку J 1 = J на решениях си­стемы (1 .2) по х (t0) при условии, что функция и (t) фиксирована(не варьируется , т. е. 8 и (t) = О) и удовлетворяет уравнению(1.2). Функция р (t) носит также название функции влияния накритерий J вариаций х (t) (или функции чувствительности кри­терия J к вариациям х (t)), поскольку она указывает на измене­ние критерия при изменениях (вариациях) х (t) в произвольныймомент времениt= t0 •Компоненты вектор-функции дН/д и называются импульсамиили импульсными переходными (или весовыми) функциями, по­скольку каждая компонента дН!дщ представляет собой изменениекритерияJпри вариации8ui,равной единичной импульснойфункции (функции Дирака, дельта-функцииной в моментt.8('t - t)),При этом величина х (t0) считается фиксирован­ной и удовлетворяющей уравнениюЕсли функционалJ(1 .2).достигает экстремума, то вариациядолжна быть нулем для произвольных выраженийнеобходимо, чтобы выполнялось условие8приложен­8 и (t).8JДля этогоан =ОУравнениячислении(1 .7), (1.8)t0 ~ t'аии(1 .10)как уравнения Эйлера -~(1.10)tk.известны в вариационном ис­Лагранжа.Итак, для того чтобы найти вектор управления и (t), при ко­тором критерий качестваJдостигает экстремального значения,нужно решить систему дифференциальных уравненийх = ](х, и, t)при х (to)=хо;_ ,_ -р--при р (tk) =где и(t)(1 .11)((д]Jт- (дLJтр-дi(1 .12)дiдGJтдik ,определяется из условияан- =О илиаи(дlJT- ( -дLJT =0.р+диГраничные условия для уравненийны: х (t0) заданы приt= t0,(1 .13)ди(1 .11)р (tk) заданы приtи(1 .12)разделе­= tk.

Такимобра-зом, приходим к необходимости решения двухточечной крае­вой задачи .Если функцииLиявно не зависят от времениft,то задачаимеет первый интеграл. Действительно,Если L и ](а следовательно, и Й) не являются явнымифункциями от времениусловие (дН / д и)t,а и (t)-оптимальное управление (т. е .= О выполнено), то9Й = О или Н= const(1.14)вдоль оптимальной траектории.Для того чтобы критерий качестваJдостиг локального мини­мума, недостаточно выполнения условия дН/ди =О . Необходимоеще, чтобы при вьmолнении условия х- J (х,ii, t)= О слагаемоевторого порядка c/J (вторая вариация J) в выражении для 8J бьшонеотрицательным для всех бесконечно малых значений8 и , т.е.д2 н-дх2х(1.15)д2Ндхдипри условии, что 8 ( х- J) = О, или(1.16)Уравнение(1.16) определяет 8:Хчерез 8и довольно сложно .Особенность задачи со свободным концом состоит, таким об­разом, в том, что на правом конце траектории полностью опреде­лен вектор импульса.