УТС нелинейные системы 6 глава (Лекции Сосновского Н. Г. по управлению в технических системах (Э-10))

Лекция №16. Методы анализа нелинейных систем.6.1. Характеристики и уравнения нелинейных элементовОднозначные нелинейные характеристики.Qзол   зол вок ( хзол  lп )1). Х зол > L n2рзолbок - ширина окон, Кп – коэффициент полноты использования площади.рзол  рп  р1вокКп  d золрзол рн  р1  р2pп , pсл - давления питания и слива.2). Хз < LпQзол d зол 3pз ,12ln  рп  рсл  рн2Кусочно-линейная характеристикаХарактеристики релейных звеньев.1).

Идеальное реле.y  CSignUPтр  СSignV2). Релейная характеристика с зоной нечувствительности.0,U  Ua y cSignU 3). Неоднозначные релейные характеристики.Характеристики типа «ЛЮФТ» и «Гистерезис».Расходно-перепадная характеристика золотникового распределителя(идеальный золотникδ=0, LП=0)Лекция №26.2 Особенности поведения нелинейных систем1. Нелинейные системы могут быть устойчивы «в малом» и неустойчивы «вбольшом».2.

В нелинейной системе могут возникать автоколебания2. Автоколебания – самоустанавливающиеся незатухающие с течением времениколебания, которые существуют в системе в отсутствии периодических внешнихвоздействий на систему (не путать с незатухающими колебаниями, которые могутвозникать в линейных системах).Энергетические условия для существования автоколебаний:1). Система обладает свойством вступать в режим колебания (баланс притокаэнергии в систему от внешнего источника и и потерь энергии).2). Обратная связьЭ+ - вводимая энергия;Э- - теряемая энергия;Aавт – амплитуда автоколебаний.График 1 - система с мягким возбуждением автоколебаний (если в систему приток Эбольше, чем потери Э, то в ней автоколебания будут самовозбуждающимися).График 2– система с жёстким возбуждением автоколебаний (автоколебания могутвозникнуть только после того как в системе будут отклонения с амплитудойбольшей А1).3.

Резонанс со скачком (увеличение ω входной величины может сначала вызватьувеличение амплитуды выходной величины, а затем резкое снижение этойамплитуды).ωр – резонансная частота (амплитудная характеристика достигает максимума).Система имеет переменную жёсткость.4. Скользящие режимы.В отличии от линейных систем, в которых колебания и переходные процессы приt→∞ стремятся не теряя колебательного характера к установившемуся значению, внелинейных системах наблюдается переход колебательного процесса в апериодический процесс при подходе к равновесному состоянию.6.3. Фазовая плоскость и фазовые траекторииПри исследовании нелинейных систем часто их принимают автономными,то есть такими, процессы в которых не подвергаются внешним воздействиям. Еслиописание системы сводится к нелинейным диф.уравнениям 2-го порядка, полезногеометрическое представление решений этих уравнений (метод фазовойплоскости).В диф.уравнение системы 2-го порядка, записанное для переменной y,подставим y=x1 , x2 =dx1/dt , тогда оно может быть заменено системой двухуравнений 1-го порядкаразделив почленно уравнения получимdx2 F2 ( x1 , x2 )диф.

уравнение кривых на плоскости декартовых координат x1,dx1 F1 ( x1, x2 )x2. F1 и F2 – нелинейные функции.(*)Фазовая плоскость – плоскость с координатами x1, x2фазовой траекторииПроинтегрировав это уравнение получим уравнениеx2 =f(x1)Уравнение позволяет найти на фазовой плоскости фазовую траекторию, котораяпредставляет собой траекторию движения изображающей точки, описывающейизменение состояния системы.

Фазовые траектории, построенные для всех Н.У.образуют фазовый портрет.dx1 x2dtx1 x2 cptxt  1x2 cpПри определении фазовых траекторий нелинейное уравнение (*) не всегда можетбыть проинтегрировано (если не удается разделить переменные), тогда применяютметод изоклин.В уравнении (*) производная dx2/dx1 является тангенсомугла наклона касательной к фазовой траектории в данной точке. Обозначим dx2/dx1F2 ( x1 , x2 )N= N. Тогда, для нахождения угла наклона:F1 ( x1, x2 )N = tgα , α – угол наклона касательной к фазовой траектории, измеренной по оси x₁ .tgα1 = N1tgα2 = N2Изоклины – кривые, проведённые на фазовой плоскости через точки, в которыхкасательные к фазовым траекториям имеют одинаковые углы наклона к осиабсцисс.Понятие фазовой плоскости может быть расширено на фазовое пространство, вкотором проводят исследования систем с большим числом переменных состояний(больше чем 2).Рассмотренный метод может быть применён так же для исследования нелинейныхсистем, характеристики которых содержат разрывы или являются неоднозначными(петлевыми).

В этом случае рассматривают не одну фазовую плоскость, а несколькофазовых плоскостей, то есть используют многолистные фазовые поверхности.Лекция №3Пример.Уравнение движение тела массой m.При неоднозначных нелинейностях (петлевых характеристиках) используютсямноголистные фазовые плоскости, представляющие собой отдельныефаз.плоскости, «склеенные» между собой по линиям переключения.d2ym 2 Pdtd2y Pdt 2 md2yUdt 2dx1 x2 ,dtdx2Udtdx2 Udx1 x2x2 dx2  Udx1x1  xa ,U  Cx2 2  2Cx1  C1x1   xa ,U  Cx2 2  2Cx1  C2Переход с одного решения на другое происходит на линиях переключения, которыеявляются «местами склейки» 2-х листов фаз.

пл-ти.6.4 Характеристики фазовых портретов.Совокупность всех фазовых траекторий, которые можно построить на фазовойплоскости называют фазовым портретом исследуемой системы.К характеристикам фазовых портретов относят особые точки, сепаратрисы,предельные циклы.dx2 F2 ( x1 , x2 )dx1 F1 ( x1, x2 ),При равновесном состоянии системы:F1 ( x1 , x2 )  0F2 ( x1 , x2 )  0иСоответственно:dx2 0 . Наклон касательной в рассматриваемой точке фазовойdx1 0траектории становится неопределенным.Особая точка – это точка фазовой плоскости, которой соответствует равновесноесостояние системы.

(Скорость и ускорение для этих точек =0)Функции F1 ( x1 , x2 )  0 и F2 ( x1 , x2 )  0 разложим в ряд Тейлора в окрестности точки Оs.Уравнения называют уравнениями первого приближения и им соответствуетхарактеристическое уравнение:abcf  (a   )( f   )  bc   2  (a  f )  af  bcИспользуя постоянную времени и коэффициент относительного демпфирования,представим характеристическое уравнение в виде: 2  20  02  0T  1 0Вид ФТ в окрестности особой точки зависит от корней.В начальном виде динамическое звено второго порядка:(T 2 S 2  2TS  1) y(S )  kU (S )W (S ) kT S  2 TS  122Виды особых точек.1). Центр.

ξ = 0,ω0² > 0 (мнимые корни)2). Устойчивый фокус1 > ξ > 0,3). Неустойчивый фокус-1 < ξ < 0,4). Устойчивый узелω0 > 05). Неустойчивый узелω0 > 0ξ > 1, ω0 > 0ξ < -1, ω0 > 06). Седлоξ=0ω0² < 0Сепаратрисы - асимптоты, которые при исследовании малых отклонений от особойточки представлялись прямыми на большом расстоянии от нее, в общем случаемогут быть кривыми.6.5 Метод точечных преобразованийМетод разработал А. А. Андронов. Точечные преобразования используют дляисследования границ притяжения фазовых траекторий и проверки устойчивостипредельных циклов.

Метод удобен, если система содержит элементы с кусочнолинейными характеристиками. (Пред.цикл описывает автоколебания, которые могутвозникать в окрестности особой точки)Диаграмма Кенигса-ЛемереяТочечное преобразование, которое после обхода всей фазовой плоскостипереводит точки какой либо полупрямой снова на нее, представляет собойпреобразование отрезка прямой самой в себя.В результате преобразованияполуоси +x2 самой в себя находится зависимость ординаты x2* , получаемой послеобхода фаз.

пл-ти, от исходной ординаты x2.0 :x*2  f (x 2.0 ) .При x*2  x2.0 - предельный цикл.Для исследования устойчивости предельного цикла м.б. применена диаграммаКенигса-Лемерея, состоящая из графика функции x*2  f (x 2.0 ) и биссектрисыкоординатного угла. Пересечение линий в точке С указывает на наличие предельного цикла.Замкнутая фазовая траектория (ФТ) описывает предельный цикл в исследуемойсистеме, если все ФТ, которые определяются координатами точек, лежащихснаружи замкнутой ФТ, и ФТ, начало которых находится в точках, лежащих внутризамкнутой ФТ, после обхода всей ФТ описывают её приближение к замкнутой ФТ.Замкнутая ФТ соответствует предельному циклу, если все возможные ФТ будут«наматываться» на замкнутую ФТ и все другие ФТ, «разматываясь» внутризамкнутой ФТ, будут приближаться к ней.f1x2- условие существования предельного цикла, который соответствуетавтоколебаниям в системе.

( tg касательной к (.) д.быть < 1, т.е. угол < 45 град.).Рассмотренные графики называют диаграммами для определения предельныхциклов.6.6 Метод гармонической линеаризации.Метод гармонической линеаризации в отличии от фазовой плоскости используетсядля исследования нелинейных систем, математические модели которых имеютпорядок выше 2-го. Метод относится к числу приближённых методов исследования.Суть метода.Пусть нелинейный элемент системы описывается уравнениемy  F (U ,При гармоническом входном сигнале:U  au  Sin   t;dU au  Cosdt(*) - угловая частота, au - амплитуда входного сигнала.dU)dtРазложим нелинейную функциюy  F (U ,dU)dtв ряд Фурье и в полученномрезультате сохраним (удержим) только члены соответствующие первой гармоникеи постоянной составляющей.

Исходим из предположения, что линейная частьсистемы обладает свойством фильтра, т.е. уменьшает амплитуды высших гармоникнастолько, что их можно исключить (гипотеза фильтра).yb0 b1Cos  b2 Sin , где b0 , b1 , b2 - коэффициенты ряда Фурье.2b0 b1 b2 1112 F (.)d02 F (.)Cos dгде F(.)  F(au sin , au cos )02 F (.)Sin d0При симметричной относительно «U» характеристике имеем b0 =0, тогда:y  b1Cos  b2 SinТригонометр. функции Sin и Cos выразим из ур-я (*), тогдаyb2b dUU 1(*)auau dtОбозначим:b2 q(au ,  ) ,aub1 q1 (au ,  )au-коэф-ты гармонической линеаризации.С учётом принятых обозначений имеем согласно уравнению (*):y  q(au ,  )U q1 (au ,  ) dUdtТакойспособполучениялинейноймоделиназ.гармонической линеаризацией. Это уравнение является линейным относительно«U» и его можно представить в изображениях по Лапласу в виде:y(s)  q(au ,  )U (s) Следовательно:q1 (au ,  )sU (s) .Wн (s) q (a ,  )y(s) q(au ,  )  1 usU (s)При гармоническом сигнале: s  jWн (au ,)  q(au ,)  jq1 (au , ) - эквивалентный комплексный коэфф.