УТС Л 8-14 (Лекции Сосновского Н. Г. по управлению в технических системах (Э-10))

Домашнее задание.«Расчет системы стабилизации»Система «А» (Э10-61) – стабилизации угловой скорости вала двигателяСистема «Б» (Э10-62) – стабилизации угла наклона платформы.Система «А»:ГР- гидрораспределительСистема «Б»:ЭГУ – электрогидр. усилитель;ДУ – датчик угла;Система «А»Система «Б»ЭУ – электронный усилитель;ДУС – датчик угловой скоростиТребуется:-построить ЛАХ и ЛФХ всех звеньев входящих в структурную схему системы, в логарифмических масштабах;-проверить устойчивость системы по ЛАХ и ЛФХ разомкнутого контура;если при заданных параметрах системы не обеспечиваются рекомендуемые запасы пофазе и амплитуде, то необходимо провести корректирование системы;-для освоения основных методов анализа устойчивости линейных систем проверитьустойчивость скорректированной системы по критериям Найквиста, Михайлова, Гурвица.-рассчитать переходный процесс системы (указать динамическую ошибку, установившуюся ошибку, время регулирования) и определить ЛАХ и ЛФХ замкнутой системы.Рекомендуемые запасы устойчивости:A=6-8 дБ =30-40 градусов,Лекция №82.4.

Переходная и весовая функцииРеальные системы и устройства, входящие в систему подвергаются случайным воздействиям.При расчетах чаще всего используются детерминированные функции, описывающиевоздействие на систему (заранее определенного вида функции). Такими функциямимогут быть:- ступенчатое воздействие;- импульсное воздействие;- гармоническое воздействие.Отклик (изменение выходной величины по времени) или реакция системы на какоелибо воздействие, определяющее функцию u(t), характеризует динамические свойствасистемы и устройств, входящих в нее.Вид функции, описывающей отклик системы, называют в зависимости от вида воздействия, вызывающего отклик:1) Ступенчатое воздействие (скачок) -> переходная функция1(t ), при t  0 u(t )   0, при t  0 y(t) – переходная функция (описывает как изменится величина у, если на вход поданскачек u(t)). Обозначим ее h(t), чтобы отличать от откликов, вызванных другими видами воздействий.y(t)=h(t)Переходная функция может быть вычислена путем решения дифференциальногоуравнения, описывающего процессы в системе после ступенчатого воздействия.

Решениенаходят аналитическими или численными методами.y(t)  W(p)  u(t), W(p) M(p)D(p)К аналитическим методам решения принадлежит метод, основанный на преобразовании Лапласа, т.к. применение методов операционного исчисления облегчает нахождение переходных функцийW(s) M(s)Y(s), Y(s)  W(s)  U(s) ,, W(s) D(s)U(s)Если подставить в интеграл Лапласа f(t)=1(t) , получимe  stU(s)   1(t )  e dt   e dt  s00stst01s,Y(s)=H(s)=W(s)/s - изображение отклика на ступенчатое воздействие.Для получения переходной функции необходимо от её изображения перейти к оригиналу. С этой целью применяют таблицы соответствия оригиналов изображениямТаблица основных преобразований Лапласа.НаименованиефункцииОригинал Изображениеf(t)F(s)1Единичнаяимпульсная функция(t)12Единичноеступенчатоевоздействие1(t)1/sa (t) ;a;a 1(t)a/se –a t  1(t)1sa3Неединичныеимпульсноеступенчатоевоздействия4Экспонента5Степенная функцияиtnn!sn 16Синусоидаa(s  a 2 )sin(at)2Кроме того для определения оригинала h(t) применяют теоремы разложения ХевисайдаM(0) n M(s k ) sk th (t ) e , (s ) D(0) k 1 s k Dkгде (s k )   DD ss  sk,sk - корни уравнения D(s)  0 (корни характеристического уравнения)Этот результат теоремы может быть применен, если полином D(S) = 0 не имеет кратныхкорней (простые корни  0 ), при наличии кратных корней используется 2-ая теоремаХевисайда.Пример.dy y  ku,dtНеобходимо найти y(t) = h(t).Система описывается диф.

уравнением:принимаем u(t)=1(t).TПреобразуем по Лапласу: TsY(s)+Y(s)=kU(s) ,W(s) = Y(s)/U(s)= k/Ts+1 - передаточная функция.D(s) = Ts+1, M(s)=k.h (t )  k tke T  k (1  e t / T )(1 T)TВесовая функцияВесовой называют функцию, описывающую отклик (реакцию) системы на единичное импульсной воздействие (t ) .Единичное импульсное воздействие описывают функцией Дирака (или дельта функцией). Это особый вид функции, = 0 всюду, кроме точки t= 0, где она стремится к бесконечности. Интеграл от нее на любом интервале, включающем точку t= 0, равен единице (t)dt  1при любом   0Дельта-функция является также производной от единичной ступенчатой функции(см.теорию обобщенных функций).1(t)Представим импульсное воздействие в упрощенном видеu(t)  K  1(t)  K  1(t  t),Обозначим функцию отклика (реакции) системы w (t), то есть эта функция равна y(t) приимпульсном воздействии на систему.w( t )   h( t )  h( t  t ) Kw( t )  h( t )  h( t  t ) K  ttK  t  1 (площадь).,Если увеличивать значение К и одновременно уменьшать t , то будем приближаться кединичному импульсному воздействию.w( t )  limt 0 h( t )  h( t  t ) K  t  dhtходная функция., - весовая (функция веса) или импульсная переdtПреобразуем по Лапласу при нулевых НУ.W(s)=sH(s)Сравнив полученное соотношение сH(s)=W(s)/s (изображение отклика на ступенч.

воздействие) получимW ( s )   w( t )e  st dt(3-е определение передаточной функции)0Т.О. передаточная функция представляет собой изображение весовой функции w(t), которое описывает отклик(реакцию) системы на единичное импульсное воздействие.С учетом последнего выражения и соотношения Y(s)  W(s)  U(s) закон изменения вых.величины при произвольном вх.

воздействии можно представить в виде интеграласверткиtt00y( t )   w( t   )  u(  )d   w(  )  u( t   )d ,w ( ) - коэфф., играющий роль весовой функции.ПримерTdy y  ku,dth(t)  k (1  e  t / T ) ,w( t ) dh k  t T edt TГрафики процессов вызванных в системе скачком и импульсным воздействиемЛекция №92.5. Частотные характеристикиu  au sin t - гармоническое воздействиеОтклик (реакция) системы определяют с помощью частотных характеристик.

Для механической системы передача гармонического сигнала от входа к выходу системы происходит без искажения частоты, меняется амплитуда колебаний и происходит сдвиг по фазе.y=yсв+увын (принцип суперпозиции), свободное движение (опр. общим решениемдиф.уравнения) и вынужденное (опр. частным решением уравнения). Если системаустойчива, то при t   1-я составляющая будет стремится к нулю. y вых  ay sin(t  )Для нахождения ау и φ можно использовать дифф.

уравнение(an  pn  an1  pn1  ...  a1  p  a 0 )y  (bm  pm  bm1  pm1  ...  b1  p  b 0 )uРешение упрощается, если представленное в тригонометрической форме входное воздействие записать в комплексной форме, используя формулу Эйлера:a cost  ajsin t  ae jtu  a u e jt , y  a y e j(t )  a y e je jt(a n ( j) n  a n1 ( j) n1  ...  a1 ( j)  a 0 )a y e j e jt  (b m ( j) m  b m1 ( j) m1  ...  b1 ( j)  b 0 )a u e jtW( j) ayauayauej(b m ( j) m  b m1 ( j) m1  ...

 b1 ( j)  b 0 )(a n ( j) n  a n1 ( j) n1  ...  a1 ( j)  a 0 ) A - относительная амплитуда (амплитудная частотная характеристика), - фазовая част. характеристикаW( j)  Ae jA=A(ω) – модуль W(jω)P(ω) – вещественная часть W(jω) =  (ω) – аргумент W(jω)Q(ω) – мнимая часть W(jω)P(ω), Q(ω) – вещественная, мнимая частотные характеристикиW(jω)=P(ω)+jQ(ω)mod W( j)  A()  P() 2  Q() 2 , arg W( j)  ()  arctgQ() k, k  0,1,2,...P()Амплитудно-фазовая частотная х-ка (АФЧХ) - W(jω), (Годограф, прочерченный на комплексной плоскости концом радиус вектора при изменении частоты от 0 до +∞)M(p) W(p) ,D(p)M(s) W(s) - определения передаточных функций.D(s)Постановкой в передаточную функцию, полученную согласно 1-ому определению p=jω,получим соотношение для определения АФЧХПодстановкой в передаточную функцию, полученную согласно 2-ому определению s=jω,получим соотношение для вычисления АФЧХ, при этом обратного преобразования не потребуется.W(jω)=M(jω)/D(jω) – АФЧХ в сокращенной формеПримерЛекция №102.6.

Логарифмические фазовые и амплитудные частотные характеристики ЛАЧХ(ЛАХ) – и ЛФЧХ (ЛФХ) (Диаграммы Боде)W(s) – передаточная функция,s=jω,W(s) = M(s)/D(s),A(ω)=modW(jω)W(jω) – АФЧХW(jω)=M(jω)/D(jω)φ (ω)=argW(jω)Логарифмические масштабыL(ω)=20lgA(ω) [Дб]φ (ω)-в обычном масштабе, радианы или градусы, Частоты – lg(ω)3. Динамические звенья и структурные схемы линейных систем3.1. Элементарные (простейшие) звеньяТакими звеньями являются:-пропорциональное; -интегрирующее; -дифференцирующее;Пропорциональное звеноW(s)=K, где K = constu=1(t)Интегрирующее звеноTdy ku,dtykTudt ,W ( s)  kTsKИsПереходная характеристика u=1(t), h(t)y(t )  h(t )  kTL  20lg A( )  20lgW ( j )  kw (t )  dhjTKИj,dt,w(t )  K И =constW ( j )   j (kkK 20lg И  20lg K И  20lg TПримеры интегрирующих звеньевTВесовая функция t  KИ  tАФЧХ, s=j KИ  k,T)   j(KИ)F  dz  Qdt dz Qdt FJ.d M двdtДифференцирующее звеноs=j W(s)=Ts,Переходная характеристикаАФЧХЛАХ и ЛФХЛекция №113.2.