УТС Л 15-20 (Лекции Сосновского Н. Г. по управлению в технических системах (Э-10))

Лекция №154. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМВ теории «УТС» общепринято понятие качество управления, состоящее из 3-х основных составляющих:- устойчивость САР (или запасы устойчивости);- точность САР;- качество переходного процесса.Если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и о качестве переходногопроцесса - бессмысленно. Поэтому понятие «устойчивость» - важнейшее понятие для САР.Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость» 1.2.абсолютно устойчивое положение3.неустойчивое положениенейтральное (безразличное) положениеВ положении 1 при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).В положении 2 малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е.

шар не вернется сам назад на вершину «горки».В положении 3 при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные 1, то она «хорошая», если 2 – «совсем плохая».  Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на 1, т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.4.1.

Основные положенияПонятие устойчивости определяет способность системы сохранять заданные состояния равновесия или заданные виды движения.Общая постановка задачи устойчивости систем дана А.М. Ляпуновым (1892 г). Приизложении теории устойчивости по Ляпунову выделяют 2 вида движения системы - невозмущенное и возмущенное. При этом состояние системы описывается обобщенными координатами yk, определяемыми из диф. уравненийdyk/dt=Yk(y1,y2,…,yn, t), k=1,2,…,n (*)Yk(y1,y2,…,yn) – известная нелинейная функцияНевозмущенное движениеЕсли принять, что исследуемое состояние системы задано функциями времени y10= y10(t),…, yn0=yn0(t)dyk0/dt=Yk0(y10,y20,…,yn0, t) (**)Установившееся невозмущенное движение:dyk0/dt =Yk0(y10,y20,…,yn0)=0Отклонение обобщенных координат: xк=yk-yk0dxk/dt=Xk(x1,x2,…,xn,t) (***) - возмущенное движение системыXk(x1,x2,…,xn,t)=Yk(y10+x1, y20+x2,…,yn0+xn,t)- Yk0(y10,y20,…,yn0,t)При t=t0 (начальный момент времени) отклонения обобщенных координатx1(t0),x2(t0),…,xn(t0) называют возмущениями.При условии, что правые части уравнений (***) возмущенного движения раскладываютсяв ряды по степеням xk ,эти уравнения можно записать в видеXk(x1,x2,…,xn,t)=ak1x1+ ak2x2+…+ aknxn + R(x1,x2…xn),где ak1x1+ ak2x2+…+ aknxn – уравнение первого приближенияR(x1,x2…xn) – совокупность членов выше первого порядка, получаемых при разложениифункций Xk.Для малых отклонений x1,x2,…,xn , когда можно пренебречь R(x1,x2…xn) можно записатьdxk/dt= ak1x1+ ak2x2+…+ aknxn (****)Устойчивость невозмущенного установившегося движения может быть исследована похарактеристическому уравнению системы (****) на основании теорем Ляпунова.Устойчивость системы по Ляпунову:Если можно выбрать сколь угодно малое положительное число ε и связанное с ним число() так, что для всех возмущений xk(t0) удовлетворяющих условию |xk(t0)|< ()при t>t0 выполняется неравенство |xk(t)|< εто невозмущенное движение устойчиво.Рис.Если lim|xk(t)|=0, то система асимптотически устойчива.Ляпунов доказал 3 теоремы, определяющих условия устойчивости системы.Теорема 1Если все корни характеристического уравнения, полученного для уравнения первого приближения, расположены на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то системаустойчива, независимо от вида членов, учитывающих отклонения выше первого.P<0Теорема 2Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения есть хотя бы один корень (действительный) или пара (комплексные), которые расположены накомплексной плоскости справа от мнимой оси, то система неустойчива, независимо от видачлена, учитывающего отклонения выше первого.P>0Теорема 3Если среди корней характеристического уравнения для первого приближения есть хотя быодин нулевой корень, то устойчивость системы не может быть проверена с помощьюуравнения первого приближения.Если правые части исходной системы (*) не могут быть разложены в ряд Тейлора(есть разрывные функции), то для исследования устойчивости применяют2-ой (прямой) метод Ляпунова.m(d2y/dt2)+Kтр(dy/dt)+cy=0y  C1e1t  C2e 2tmλ2+kтрλ+с=0(Если все коэффициенты одного знака, то Р<0)Чтобы проверить расположение корней характеристического уравнения на комплекснойплоскости и определить устойчивость системы разработаны специальные критерии, позволяющие, не вычисляя значений корней, убедиться в их «левости», то есть устойчивости системы.Эти критерии разделяют на: алгебраические, частотные.Лекция №164.2 Алгебраические критерии устойчивостиКритерии Рауса и Гурвица:Характеристическое уравнения представим в виде:an n  an  1n  1  an  2n  2    a0  0Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по корням характеристического уравненияКорни характеристического уравнения должны располагаться слева от мнимой оси.Критерий Гурвица (в технических расчетах более распространен)Чтобы линейная система была устойчива все коэффициенты характеристического уравнения должны быть одного знака и определители, составленные из них были бы положительными: ( an  0 , an1  0 , an 2  0 , …, a0  0 )n an 1an000...an  3an  2a n 1an0...an  5an  4an  3an  2an 1 ...an  7an  6an  5an  4an  3 ...an  9an  8an  7an  6an  5 ........................................................... n1  0 ,  n 2  0 ,  n 3  0 , ….Определители  n1 ,  n 2 ,  n 3 являются минорами элементов определителя  n , т.е.

получаются вычеркиванием столбцов и строк, начиная с крайнего правого столбца и нижнейстроки.W1(S)=1/T1S - интегрирующее звено (двигатель)W2(S)=1/(T22S2+2ξT2S+1) – колебательное звено (регулятор Уатта)%Р90Ф YF (s) = W1(s)/[1+W1(s)W2(s)],Ф YF (s) = Y(s) F(s) ,Y(s) = Ф YF (s) F(s)Ф(S)=W1(s)W2(s)/[1+W1(s)W2(s)],Ф YG (s) = Y(s) G (s) ,Y(s) = Ф YG (s) G (s)Y(s)= W1(s)F(s)/[1+W1(s)W2(s)],[1+W1(s)W2(s)] Y(s)= W1(s)F(s),[1+W1(s)W2(s)] Y(s)= W2(s)W1(s)G(s)1+W1(s)W2(s)]=1+T1s(T22s 2  2T2s  1)  k1k==0T1s(T22s 2  2T2s  1)T1s T22s 2  2T2s  1T1s(T22s2  2T2s  1)  k =0 - характеристическое уравнение для замкнутой системыТ.е.

1+W1(S)*W2(S)=0 соответствует характеристическому уравнению замкнутой системы.Проведенные преобразования показывают, что знаменателю передаточной функциизамкнутой системы соответствует характеристическое уравнение.Из этого соответствия следует что корни характеристического уравнения можно считать полюсами передаточной функции замкнутой системы.a3λ3+ a2λ2+ a1λ+ a0=0a3=T1T22 , a2=2ξT1T2 , a1=T1, a0=кСогласно критерию Гурвица,Δn-1=a1a2- a0a3 >0a1 a2>a0a3Для системы третьего порядка условие устойчивости состоит в том, что произведение«средних» коэффициентов больше произведению «крайних» коэффициентов.2ξT1 > kT2(2ξ/kT2) > (1/T2)См. гиперболу Вышнеградского.Лекция №174.3 Частотные критерии устойчивости4.3.1 Принцип аргументаПусть имеется характеристический многочленD(λ)=anλn+ an-1λn-1+… a1λ+ a0 (*), соответствующий левой части характеристического уравнения.λ1, λ2, λ3, …, λn – корни выражения (*)Представим многочлен в виде:D(λ)=an (λ- λ1)*(λ- λ2)*…* (λ- λn) разложение полинома на множители по теореме БезуПримем λ=jωD(jω)= an (jω - λ1)*( jω - λ2)*…* (jω - λn)Приращение аргумента D(jω)n arg D(j)   arg(j - i)или arg D(j)  (n  l)  l  (n  2l) ,i 1Где l – число корней уравнения, расположенных справа от мнимой оси.l=0, если все корни расположены слева от мнимой оси и при изменении  от 0 до +∞ arg D(j)  n / 2Из приведенных условий следует критерий Михайлова (вектор D(j) при изменении  от 0до +∞ описывает годограф на комплексной плоскости ).4.3.2 Критерий Михайлова (1936)n=2a2λ2+ a1λ+ a0=0n=3a3λ3+ a2λ2+ a1λ+ a0=0Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф D(jω) начиналсяв точке лежащей на «+» части действительной оси и при увеличении ω от 0 до +∞ последовательно проходил через n квадрантов, в направлении против хода часовой стрелки, где n- степень характеристического ур-я.Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.Лекция №184.3.3 Критерий устойчивости Найквиста (1932г.)Основное отличие критерия Найквиста от критерия Михайлова состоит в том, что с помощью критерия Найквиста проверяется устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам её разомкнутого контура.Передаточные функции замкнутого контура1) ФУF(s)=W1(s)/(1+W1(s)W2(s))2) ФУG(s)=W1(s)W2(s)/(1+W1(s)W2(s))Обозначим W1(s)W2(s)=W(s) - передаточная функция разомкнутого контура.1+W1(s)W2(s)=1+W(s),тогда характеристическое уравнение:уравнению замкнутой системы.1+W(s)=0соответствует характеристическомуW(s)=MP(s)/Dp(s) передаточная функция разомкнутого контураD(s)=0 соответствует характеристическому уравнению разомкнутой системы1+ W(s)=1+ MP(s)/Dp(s)= (Dp(s)+ MP(s))/Dp(s)где числитель является характеристическим уравнением замкнутой системы, знаменатель– характеристич.

уравнение разомкнутой системы.E(s)=G(s)-Y(s)E(s)W(s)=Y(s)Y(s)/W(s)=G(s)-Y(s)В передаточных функциях полином в числителе, имеющий степень m, и полином в знаменателе, имеющий степень n, должны удовлетворять условию физической реализуемостиm<=n (что у реальных систем практически всегда выполняется).1+W(s)=Полином в степени “m”/Полином в степени “n”1. Пусть среди ”n” корней характеристического уравнения замкнутой системы ”l” корнейрасположены справа от мнимой оси плоскости s2. Среди ”n” корней характеристического уравнения разомкнутой системы есть ”к” корней,расположенных справа от мнимой оси плоскости sПри s=jω определим приращение аргумента:Δarg[1+W(jw)] = π[(n-l)-l]-π[(n-k)-k)=В случае ω от -∞ до +∞=2 π(k-l)При изменении ω от нуля до +∞Δarg[1+W(jw)]= π(k-l)Если замкнутая система устойчива, то l=0, тогда:Δarg[1+W(jw)]= πk, при изменении ω от 0 до +∞.Следовательно: при неустойчивой разомкнутой системе замкнутая может быть устойчива.Если разомкнутая система составлена из устойчивых звеньев, то ее характеристическоеуравнение не имеет корней справа от мнимой оси, т.е.