Экзаменационная программа для ИБМ, МТ, РК

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»1 курс, 1 семестр, 2011-12 учебный год, факультеты МТ, РК и ИБММодуль 1 Векторы, прямые и плоскости1. Скалярные и векторные величины. Определение геометрического вектора.Нулевой вектор, противоположный вектор, определение коллинеарных и компланарныхвекторов; равенство векторов. Свободные векторы. Единичный вектор (орт). Определениелинейных операций над геометрическими векторами, их свойства. Правила вычитаниявекторов, правило многоугольника нахождения суммы нескольких векторов. Длинавектора, её свойства.2. Определение линейной зависимости геометрических векторов. Критерийлинейной зависимости: (а) двух и (б) трех геометрических векторов, линейнаязависимость любых четырех геометрических векторов.3.

Базис на плоскости и в пространстве. Ортонормированный канонический базисi, j, k . Доказать единственность разложения вектора по базису. Определение координатвектора в данном базисе. Доказать теорему о линейных операциях над векторами вкоординатной форме.4. Определение ортогональной проекции геометрического вектора на ось(направление), её свойства, формула для её вычисления. Определение скалярногопроизведения геометрических векторов, его механический смысл.

Доказать свойстваскалярного произведения. Признак перпендикулярности (ортогональности) двух векторов.Вывести формулы для нахождения скалярного произведения, длины вектора, косинусаугла между векторами и проекции вектора на направление в базисе i, j, k. Доказатьтеорему о связи координат вектора в этом базисе с его ортогональными проекциями насоответствующие направления. Определение направляющих углов (косинусов) вектораили луча.

Доказать теорему о них.5. Правые и левые тройки геометрических векторов. Определение векторногопроизведения двух геометрических векторов, его геометрический смысл. Доказатьсвойства векторного произведения (дистрибутивность без док-ва). Критерийколлинеарности двух векторов. Вывести формулу для вычисления векторногопроизведения в базисе i, j, k. Физические приложения векторного произведения.6.

Определение смешанного произведения трех геометрических векторов, егогеометрический смысл. Доказать свойства смешанного произведения. Вывести формулудля нахождения смешанного произведения в базисе i, j, k. Вывод формулы объематреугольной пирамиды (тетраэдра). Условие компланарности трех векторов. Проверкаориентации тройки векторов.9. Определение: декартовой системы координат в пространстве, координатыточки. Радиус-вектор точки. Связь координат вектора и его концов (вывод).Прямоугольная система координат, вывести формулу расстояния между двумя точками иформулу для координат точки, делящий отрезок в данном отношении α :β .10. Геометрический смысл уравнения F ( x, y ) = 0 на плоскости, в пространстве.Геометрический смысл уравнения F ( x, y, z ) = 0 и системы двух таких уравнений впространстве.

Поверхность, заданная уравнением F ( x − a , y − b, z − c ) = 0 . Нахождениеуравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость(для МТ и РК).11. Прямая на плоскости, ее направляющий и нормальный векторы. Различные видыуравнения прямой на плоскости: прямая с угловым коэффициентом; общее уравнениепрямой, каноническое и параметрические уравнения, уравнение в отрезках. Вывод этихуравнений, геометрический смысл их коэффициентов. Уравнение прямой, проходящейчерез две заданные точки. Вывод формулы для расстояния от точки до прямой. Взаимноерасположение двух прямых на плоскости.

Нахождение угла между прямыми. Условиясовпадения, параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.Экзаменационная программа. Аналитическая геометрия. 2011-12212. Плоскость в пространстве, ее нормальный вектор. Вывод уравнения плоскости,проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вывод общегоуравнения плоскости (в векторной и координатной форме) и уравнения плоскости вотрезках, геометрический смысл коэффициентов этих уравнений. Вывод уравненияплоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.Уравнение плоскости в отрезках.

Вывод формулы для нахождения расстояния от точки доплоскости.13. Прямая в пространстве и ее направляющий вектор. Общие уравнения прямой (ввиде системы двух уравнений). Вывод параметрических (в векторной и координатнойформе) и канонических уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов этихуравнений. Нахождение канонических уравнений прямой, заданной общими уравнениями.Вывод уравнений прямой проходящей через две заданные точки.

Определение и выводуравнения пучка плоскостей. Вывод формулы для расстояния от точки до прямой впространстве14. Исследование взаимного расположения в пространстве: (а) двух плоскостей:(б) прямой и плоскости; (в) двух прямых. Нахождение угла между: (а) двумя плоскостями;(б) двумя прямыми; (в) прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения: (а) прямойи плоскости; (б) двух пересекающихся прямых. Нахождение расстояния междупараллельными плоскостями.

Нахождение расстояния между двумя параллельными илискрещивающимися прямыми.Модуль 2. Кривые и поверхности второго порядка,матрицы и системы линейных алгебраических уравнений15. Кривые второго порядка. Определение, эллипса, гиперболы и параболы, выводыих канонических уравнений. Определение эксцентриситета этих кривых, его смысл.Вывод уравнений асимптот гиперболы. Уравнения эллипса и гиперболы со смещеннымцентром, параболы со смещенной вершиной, координаты фокусов этих кривых.Исследование уравнения Ax 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0, ( A2 + C 2 > 0) на плоскости.Параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Свойство касательных эллипса,параболы и гиперболы и их оптическая интерпретация. Косые сечения цилиндра и конуса.16. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности, поверхностивращения и их уравнения. Эллипсоид. Гиперболоиды, конус. Параболоиды. Ихканонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.Вырожденные линии и поверхности второго порядка. Нахождение проекции линиипересечения двух поверхностей (для МТ и РК).17.

Определение матрицы и её размера. Определение нулевой матрицы. Видыквадратных матриц: симметричные, кососимметричные, верхние треугольные и нижниетреугольные, диагональные, скалярные, единичная матрица. Равенство матриц.Определение линейных операций над матрицами (не путать с элементарнымипреобразованиями). Операция транспонирования матрицы. Свойства вышеуказанныхопераций. Определение произведения двух матриц, свойства операции умноженияматриц. Экономическая интерпретация произведения двух матриц (для ИБМ).18. Определение элементарных преобразований строк и столбцов матрицы.Определение отношения эквивалентности двух матриц, доказать его свойства(симметричность, транзитивность и рефлексивность).19.

Аксиомы линейного пространства. Следствия из аксиом. Примеры линейныхпространств: пространства геометрических векторов: V , Vπ , V ; арифметическоепространство Rn и арифметические векторы; пространство матриц Mm×n ; пространствомногочленов Рп[х].20. Определение линейной комбинации векторов произвольного линейногопространства, линейной зависимости и независимости векторов. Доказать общийкритерий линейной зависимости векторов и его следствия. Критерий линейнойзависимости двух векторов произвольного линейного пространства.

Критерий линейнойЭкзаменационная программа. Аналитическая геометрия. 2011-123зависимости m арифметических векторов пространства Rn. Определение ранга системывекторов произвольного линейного пространства.21. Определение базиса и размерности линейного пространства. Доказатьединственность разложения вектора по базису.

Сформулировать теоремы о базисе иразмерности. Размерность и базис конкретных линейных пространств: пространствагеометрических векторов V , Vπ , V; арифметического пространства Rn; пространствамногочленов Рn[x], пространства матриц M m× n .22. Определение подпространства линейного пространства. Примеры. Определениелинейной оболочки системы векторов, ее основное свойство. Примеры.23. Определение ступенчатой матрицы. Теорема (и алгоритм) Гаусса о приведениипроизвольной матрицы к ступенчатому виду.24. Вычисление определителя первого, второго и третьего порядка. Свойстваопределителя любого порядка. Изменение определителя при элементарныхпреобразованиях. Вычисление определителя любого порядка (а) разложением по строкеили по столбцу; (б) с помощью элементарных преобразований. Свойства определителяпроизведения двух квадратных матриц.25.

Определение присоединённой матрицы, доказать её свойство. Определениевырожденной и невырожденной квадратной матрицы. Алгоритм приведенияневырожденной квадратной матрицы к единичной. Определение обратной матрицы,доказать её единственность. Доказать критерий существования обратной матрицы, ивывести метод её нахождения с помощью алгебраических дополнений. Нахождениеобратной матрицы с помощью элементарных преобразований.26. Доказать теоремы о: (а) матрице, обратной произведению двух невырожденныхматриц; (б) транспонировании обратной матрицы. Решение матричных уравнений видаAX = C , XB = C и AXB = C с помощью обратной матрицы (вывод).27. Определение минора прямоугольной матрицы, определение ранга матрицы.Определение базисного минора матрицы, окаймляющего минора матрицы.

Теорема обокаймляющих минорах (о базисном миноре) и её следствия. Доказать критерийвырожденности квадратной матрицы (в терминах её ранга). Метод окаймляющих миноровнахождения ранга матрицы.28. Инвариантность (неизменность) линейной зависимости (независимости) столбцовматрицы относительно элементарных преобразований её строк (и наоборот).Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований итранспонирования. Ранг ступенчатой матрицы (вывод). Нахождение ранга матрицы спомощью элементарных преобразований. Теорема о ранге системы арифметическихвекторов.29. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), координатная, матричнаяи векторная записи.

Определение совместной СЛАУ, её матрицы, расширенной матрицы.Доказать критерий Кронекера–Капелли совместности СЛАУ. Определение частного иобщего решения СЛАУ.30. Инвариантность множества решений СЛАУ относительно элементарныхпреобразований строк её расширенной матрицы. Алгоритм Гаусса исследования ирешения СЛАУ. Выбор базисных и свободных переменных, их количество. Доказатькритерий существование единственного решения совместной СЛАУ.