Типовые задания контрольных мероприятий для МТ, РК

Аналитическая геометрияТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ (МТ и РК)Методические пособия, изданные в МГТУ им. Н.Э. Баумана (МП)МП-1. Пелевина А.Ф., Зорина И.Г. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. –М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 46 с.МП-2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия / Под ред. В.Ф. Панова. – М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1989.МП-3. Галкин С.В. Матрицы и определители, решение систем. – М.: МВТУ, 1988. –45 с.МП-4. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. С.К. Соболева.

– М.: Изд-воМГТУ им, Н.Э. Баумана, 1991. – 154 с.МП-5. Дубограй И.В., Леванков В.И., Максимова Е.В. Методические указания квыполнению домашнего задания по теме “Кривые второго порядка”. – М.: Изд-во МГТУим, Н.Э. Баумана, 2002.

– 52 с.МП-6. Бархатова О.А., Садыхов Г.С. Поверхности второго порядка. – М.: Изд-воМГТУ им, Н.Э. Баумана, 2005. – 40 с.МП-7. Агеев О.Н., Гласко А.В., Покровский И.Л. Матрицы и определители. – М.:Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004.МП-8. Гласко А.В., Покровский И.Л., Станцо В.В. Системы линейныхалгебраических уравнений.

– М.: Изд-во МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2004. – 61 с.МП-9. Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Мет. Указ. К решениюзадач (PDF). – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010: http://wwwcdl.bmstu.ru/fn1.МОДУЛЬ 1: ВЕКТОРЫ, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ (максимум 32 балла)КМ-1: Домашнее задание №1, Часть 1.

«Векторы»Сроки выполнения: выдача – 2-я неделя; прием – 6-я неделя.Методические пособия 1, 2 и 9.Типовое задание (максимум 6 баллов)Задача 1. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы векторы AB = a , AD = b ,AA1 = c . Выразить через векторы a, b, и c вектор q = AE , где Е – середина ребра СС1.Задача 2. Разложить вектор a(4; 2; 7) по векторам p( −1; 3; 1) , q( −3; −1; 8) иr ( −8; 0; 2) .Задача 3.

Найти косинус угла между векторами a = 5m + 2 n и b = m − 3n , гдеm = 3 , n = 1 ∠( m, n) = 2π .3Задача 4. Найти проекцию вектора x = 2a − 4c на вектор y = b + c , где a(1; − 3; 1) ,b( −5; 4; 1) c (2; 0; − 2) .Задача 5. Найти координаты единичного вектора n0 , перпендикулярного кплоскости АВС, где A(1; 2; − 3), B(3; − 1; 2), C (4; 1; 1) .Задача 6. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a = m + 6n иb = 3m − n , где m = 2 2, n = 3 , ∠( m, n) = 3π .4Задача 7. Проверить, компланарны ли векторы a(8; 3; 2) , b( −1; 5; − 1) и c (2; 1; 1) .Задача 8. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках, A1 ( −5; 4; 3) ,A2 (1; 3; 4), A3 (3; 2; − 1) и A4 ( −2; 1; 5) , площадь грани ( A1 A2 A3 ) и высоту, опущенную извершины A4 на грань ( A1 A2 A3 ) .КМ-2: Часть 2.

«Прямые и плоскости»Сроки выполнения: выдача – 6-я неделя; прием – 8-я неделя.Методические пособия 1 и 2Аналитическая геометрия. Типовые задания КМ для МТ и РК.. 20112Типовое задание (максимум 7 баллов)Задача 9. Найти косинус острого угла между плоскостями α : 5 x − 3 y + 2 z − 7 = 0 иβ : 3x + y − 4 z + 7 = 0 .Задача 10. Даны четыре точки A(2; 0; 1), B( −2; 1; −3) , C (1; 2; 4) и D (1; − 1; 3) .Составить уравнение плоскости АВС и найти расстояние от точки D до этой плоскости.Задача 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1; − 2; 3)перпендикулярно плоскостям γ 1 : x + 3 y − 2 z − 5 = 0 и γ 2 : 2 x + 5 y + 4 z − 7 = 0 .Задача 12.

Составить уравнения сторон треугольника MNK, заданного координатамивершин: M (3; −1; 4), N ( −1; 2; 2), K (4; 5; 3) .Задача 13. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой2x − y + 4z + 5 = 0.: x + 3y − z − 4 = 0Задача 14. Найти проекцию точки M 0 (9; 1; 10) на плоскость α : 2 x + 5 y − 3z + 7 = 0 .y −1 z − 2Задача 15. Найти угол между прямой : x + 3 ==и плоскостью−234β : 4x + 3y − 2z + 7 = 0 .КМ-3: Рубежный контроль №1 “Векторная алгебра, прямые и плоскости”проводится на 8-й или 9-й неделе по лекциям 1–6 и практическим занятиям 1–7.Типовое задание (максимум 13+3 = 16 баллов)1.

Векторное произведение: определение, свойства, формула для вычисления иприложения. (2,5 балла)2. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве,геометрический смысл их коэффициентов. Формула для расстояния от точки до прямой впространстве (2,5 балла).3. В тетраэдр известны координаты его вершин A(2; 0; 1), B( −2; −1; −3) , C (1; 2; 4) иD (1; − 1; 3) .

Найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины В. (2 балла)4. Найти проекцию вектора b на направление вектора а, где a = 2 m + 5n иb = 3m − n , где m = 7, n = 4 , ∠( m, n) = 2π . (2 балла)35. Найти уравнение плоскости, проходящей через точкуA(2; 3; − 1) ,перпендикулярнойплоскостиипараллельнойпрямойπ : 4x − 3y + 2z = 5y +1 z − 4. (2 балла): x−3 ==23−56. Найти координаты точки, симметричной точке A(3; 2; 5) относительноплоскости 2 x − y + 3z = 13 .(2 балла)КМ-4: Поведение, прилежание и посещаемость в первом модуле – максимум 3балла.Аналитическая геометрия. Типовые задания КМ для МТ и РК..

20113МОДУЛЬ 2: КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙКМ-5: Домашнее задание №2. Часть 1. Кривые второго порядка.Сроки выполнения: выдача – 9-я неделя; прием – 10-я неделя.Методические пособие 5.Типовое задание (максимум 7 баллов)Определить тип (название) кривой по заданному уравнению (1 – 6), привести кканоническому виду и построить кривую. Для эллипса и гиперболы определитькоординаты центра и фокусов и изобразить их на чертеже, найти полуоси иэксцентриситет.

Для гиперболы составить уравнения асимптот и нарисовать их. Дляпараболы определить значение параметра, найти координаты вершины и фокуса,составить уравнение директрисы и изобразить их на чертеже.Y1. 3 x 2 + 5 y 2 − 18 x + 30 y + 27 = 0 ;12. 4 x 2 + y 2 + 32 x + 52 = 0 ;223. 25 x − 4 y − 50 x + 16 y − 91 = 0 ;06 Х–24. 9 x 2 − 25 y 2 + 50 y + 200 = 0 ;5. y = 2 + 2 x − 1 ;–36. 2 x 2 + 2 y 2 − 20 x + 8 y + 66 = 0 ;7.

Написать уравнение кривой второго порядка по её рисунку:КМ-6: Домашнее задание №2. Часть 2. Поверхности второго порядка.Сроки выполнения: выдача – 10-я неделя; прием – 11-я неделя.Методические пособие 6.Типовое задание (максимум 8 баллов)1. Составить уравнение поверхности, полученной вращением:2(а) кривой y = 3− x вокруг: (1°) оси ОХ; (2°) оси OY.;(б) кривой x 2 − 4 z 2 = 4 вокруг оси OZ. Построить данную поверхность методом сечений.2. Определить тип (название) поверхности в пространстве, заданной уравнением(x2+ z2)2= 4( x 2 − z 2 ) и построить её.3.

Привести уравнения поверхностей к каноническому виду и определить их тип(название). Построить эти поверхности методом сечений:(а) 225 x 2 + 100 y 2 + 36 z 2 = 900 ;(б) 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 + 16 = 0 ;(в) x 2 + y 2 − 4 y − 2 z + 4 = 0 ;(г) x 2 − y 2 − 2 x − 2 z + 1 = 0 ;(д) z = 3 + 9 − x 2 + y 2 .4. Определить тип (названия) поверхностей x 2 + y 2 = 2 x и x 2 + y 2 = z 2 и нарисоватьих. Составить уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на плоскостьXOZ , нарисовать эту проекцию и построить саму линию пересечения.КМ-7: Рубежный контроль №2 “Кривые второго порядка, матрицы и СЛАУ”проводится на 15-й или 16-й неделе по лекциям 7–14 и практическим занятиям 9–14Типовое задание (максимум 15+3 = 18 баллов):1.

Эллипс: определение, каноническое уравнение, полуоси, эксцентриситет,координаты фокусов, свойство касательных и его оптическая интерпретация (3,5 балла).Аналитическая геометрия. Типовые задания КМ для МТ и РК.. 201142. Однородные системы линейных уравнений, условие существование ненулевогорешения, свойство решений, пространство решений и его размерность, фундаментальнаясистема решений, структура общего решения.

(3,5 балла)3. Нарисовать кривую x = 3 − 2 y 2 + 2 y + 10 . (2 балла)3 2 −14. Найти значение p ( A) , где p ( x ) = 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x − 5, A =  . (2 балла)3 4  2 1 0 1 3  4 5 65. Решить матричное уравнение X  3 −1 2  =  1 0 2  . (2 балла)25 1 −2 3 6.

Найти общее решение системы линейных алгебраических уравнений: x1 + 3 x2 − x3 + 2 x4 + x5 = 1, 2 x1 + x2 + x3 − x4 + x5 = 3,3x + 2 x + 4 x + x − x = 2, (2 балла)2345 14 x1 + + 6 x3 − 2 x4 − x5 = 4.КМ-8: Поведение, прилежание и посещаемость в первом модуле – максимум 4 балла.