Все ответы к экзамену, страница 3

При этомпредполагается, что сигнал на входе нелинейного элемента является синусоидальным.Такое предположение справедливо во всех случаях, когда линейная часть системыдостаточно инерционна и не пропускает высшие гармоники.Пусть автоматическая система состоит из отделимых друг от друга линейной инелинейной частей (см. рис. 8.1, а) и нелинейная часть описывается функцией (8.1).Предположим, что контур системы разомкнут (на выходе линейной части) и что на входенелинейного элемента действует синусоидальный сигнал(8.6).При этом на выходе нелинейного элемента будет возникать периодический сигнал,форма которого зависит от характера нелинейности и в общем случае существенноотличается от синусоидальной.

Так, на выходе двухпозиционного реле без зонынечувствительности (рис. 8.5, а) образуется периодический сигнал прямоугольной формы(рис. 8.5, б).Уравнение (8.1) при синусоидальном воздействии можно записать в общем виде.(8.7)Рис.

8.5. Преобразование гармонического сигнала нелинейным элементомПериодический сигнал на выходе нелинейного элемента может быть разложен в рядФурье и тем самым представлен суммой гармонических составляющих:(8.8),где коэффициентыиопределяются известными формулами, а параметры.(8.9)Для нелинейных элементов с кососимметричной относительно начала координатхарактеристикой характерно наличие постоянной составляющейкоэффициентов четных гармоник, т.е.и отсутствие всехи.При анализе замкнутой системы можно учитывать только первую гармонику и сигнална выходе элемента с кососимметричной характеристикой приближеннопредставить так:.(8.10)Учитывая, что(8.11)и вводя обозначения(8.12),можно вместо (8.10) записать(8.13)или в операторной форме.(8.14)При выполнении указанных выше предпосылок нелинейное уравнение (8.7) может бытьзаменено линейным уравнением (8.13).

Эта процедура называется гармоническойлинеаризацией, а коэффициентылинеаризации.и– коэффициентами гармоническойГармоническая линеаризация принципиально отличается от обычной линеаризации, таккак коэффициенты гармонически линеаризованного элемента непостоянны и зависят отамплитуды входного сигнала. Эквивалентная прямолинейная характеристика (рис.

8.5, а –тонкая линия) имеет различный наклон при разных амплитудах входного сигнала.Применение современных программных моделирующих систем позволяет исследоватьлюбые нелинейные системы значительно точнее и быстрее, чем рассмотреннымиметодами.8.5. Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем с помощью критерияПоповаАбсолютной устойчивостью называется устойчивость системы при любых начальныхотклонениях для любой формы нелинейной характеристики, принадлежащей к одному изопределенных классов.

Нелинейности считаются одного класса, если их характеристикинаходятся в секторемежду осью абсцисс и прямой с угловымкоэффициентом(рис. 8.6, а). Критерий Попова относится к частотным методамопределения абсолютной устойчивости нелинейных систем.Задача об исследовании абсолютной устойчивости возникает в связи с тем, что внекоторых случаях нелинейная характеристика звена является нестабильной и может бытьохарактеризована только определенной областью.Пусть известна частотная функция линейной части системыпараметраи задано значение, который является некоторым предельным параметром нелинейнойхарактеристики, произвольно располагающейся в заданной области.Необходимо определить, обеспечивается ли абсолютная устойчивость конкретнойсистемы для любой характеристики, удовлетворяющей условиям:(8.15),В формулировке критерия используется понятие модифицированной а.ф.х.Пусть линейная часть системы устойчива и имеет а.ф.х.(8.16)Образуем из этой обычной а.ф.х.

следующую видоизмененную а.ф.х., у которой мнимаячасть получена умножениемна:,(8.17)где– нормирующий множитель. Характеристика (8.17) и называетсямодифицированной.Критерий абсолютной устойчивости равновесия нелинейной системы, удовлетворяющейвышеперечисленным требованиям, формулируется следующим образом:для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы модифицированнаяхарактеристикане охватывала точкупровести прямую, не пересекающую характеристикуот прямой).и через эту точку можно было(последняя лежит справаНа рис.

8.6, б показан случай, когда критерий устойчивости выполняется, а на рис. 8.6, в, г– случаи, когда не выполняется.По наклону прямой Попова, "прижатой" к кривой, можно судить о допустимомклассе нелинейности: если прямая вертикальна, то нелинейность может быть толькооднозначной, а если она наклонена, то нелинейность может быть и однозначной инеоднозначной (с гистерезисом).Рис. 8.6. Критерий абсолютной устойчивости ПоповаПример.Определить с помощью критерия Попова абсолютную устойчивость равновесиянелинейной системы, состоящей из трехпозиционного релейного элемента (рис. 8.7, а) спараметрамии линейной части:(1)с параметрамиРешение. Представим а.ф.х. (1) в виде.(2).Соответствующая (2) модифицированная характеристика (рис.

8.7, б) описываетсяуравнением(3).Рис. 8.7. Определение абсолютной устойчивостиЧерез точку с абсциссой, равной, проведена прямая 1, которая непересекается с кривой. Следовательно, при заданных параметрах равновесиесистемы абсолютно устойчиво.Для решения обратной задачи – определения допустимого по условию устойчивостиравновесия значения зоны нечувствительностихарактеристикепроведем прямую 2, "прижатую" к. Она пересекает действительную ось в точке с абсциссой.

Тогда допустимое значение для углового коэффициентазоны нечувствительностиПри, а для.состояние равновесия системы будет неустойчивым.В некоторых случаях использование нелинейных систем управления затруднено из-заналичия низкочастотных автоколебаний большой амплитуды. Устранить этот недостатокможно путем компенсации нелинейностей. При этом нелинейная система относительнонекоторых входных сигналов может рассматриваться как линейная.Простейшим способом устранения нелинейности является включение параллельно илипоследовательно с основной нелинейностьюкомпенсирующей нелинейности, имеющей обратный характер.

Тогда такое соединение нелинейных элементовобразует эквивалентный линейный элемент и система станет линейной.Применяется также вибрационная компенсация нелинейностей. Такая компенсацияявляется наиболее распространенным способом линеаризации релейных систем.Вибрационная компенсация осуществляется высокочастотным периодическим сигналом.№4Устойчивость цифровых систем автоматического управленияАнализ устойчивости цифровых системПереходный процесс будет затухающим, если все полюсы цифровой САУ на плоскостикомплексного переменного расположены внутри круга единичного радиуса. Это условиеявляется необходимым и достаточным для устойчивости системы.

Полюсы системы –корни характеристического уравнения, получаемого из передаточной функции замкнутойсистемы путем приравнивания ее знаменателя нулю:.(220)ПримерОпределить условие устойчивости дальномера с одним интегратором, передаточнаяфункция которого в разомкнутом состоянииРешение. Характеристическое уравнение дальномера:Условие устойчивости:или.Расположение корней характеристического уравнения (220) внутри круга единичногорадиуса соответствует расположению корней на плоскости комплексного переменного Scлева от мнимой оси в полюсе, которое не может быть проверено ни одним изкритериев, используемых для оценки устойчивости непрерывных САУ. Однако если спомощью подстановки (186) в уравнение (220) перейти к комплексной плоскости , тообластью устойчивости оказывается вся левая полуплоскость и для оценки расположениякорней на плоскости могут быть применены критерии устойчивости, разработанные длянепрерывных САУ.

Так, для проверки устойчивости цифровой САУ по критерию Гурвицанеобходимо от характеристического уравнения (220) перейти к уравнению.Так же как и в непрерывных системах, нужно составить матрицу Гурвица:.(221)Условия устойчивости при:(222)Если хотя бы один из определителей меньше или равен нулю, то цифровая системанеустойчива.Устойчивость цифровых САУ может быть оценена и по частотным критериямустойчивости.

Так, для оценки устойчивости по критерию Найквиста нужно построитьгодограф частотной характеристики разомкнутой системы для круговой частоты илипсевдочастоты, введенной через (187) и (190) на основе Z-преобразования. В первом и вовтором случаях цифровая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и взамкнутом, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватываетточку с координатами ().Близость системы к границе устойчивости определяется запасом устойчивости.

Запасустойчивости по усилению определяется на критической частоте, на которой ФЧХразомкнутой системы равна -p:,где– критическая частота.Запас устойчивости по фазе рассчитывается на частоте среза:№5Исследование динамики частотно- и широтноимпульсных системавтоматического управления.ЧАСТОТНО–ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫУПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМБольшинствотехнологическихпроцессовнефтехимической,металлургической и других промышленностей относятся к классу объектов сзапаздыванием и функционируют в условиях случайных возмущений. Какизвестно, что в объектах с запаздыванием [1] влияние входного воздействияпроявляетсяна выходе с временной задержкой, равной времени егозапаздывания.