Контрольное задание

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ,каф.ВМ2ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ”РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)“ИРЭАДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯМКОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯДля студентов вечернего и заочного отделенийфакультетов ИТ, ВРТ, ФРТСМОСКВА 2011Составители: Е.В.Абрамова, Е.Ю.Кузнецова, С.А.УнучекРедакторН.С.Чекалкин,каф.ВМ2Контрольные задания содержат типовой расчет по дифференциальным уравнениям.

Представлены все основные типы задач поуравнениям первого порядка, уравнениям, допускающим понижение порядка, линейным уравнениям высших порядков и системамлинейных уравнений, а также задачи, связанные с применениемпреобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений и систем. Все перечисленные типы задач включены в программу вечернего и заочного отделений. Типовой расчетвыполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в пособии вопросык экзамену могут быть уточнены и дополнены лектором.ИРЭАПечатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: Т.Н.Бобылева,В.П.Барашевc МИРЭА, 2011⃝МКонтрольные задания напечатаны в авторской редакцииПодписано в печать 00.00.2010.

Формат 60 x 84 1/16.Бумага офсетная. Печать офсетная.Усл. печ. л. 00,00. Усл.кр.-отт. 00,00. Уч.изд.л. 00,00.Тираж 100 экз. С 000Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники,”электроники и автоматики (технический университет)“119454, Москва, пр.Вернадского, 783ТИПОВОЙ РАСЧЕТ2Часть 1. Дифференциальные уравненияпервого порядка,каф.ВМЗадача 1.1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.№1x3 ydy = (x − 1)dx23(x2 − 1)y ′ + 2xy 2 = 0√√1 − y 2 dx + y 1 − x2 dy = 04x(y 2 − 4)dx +yx2 dy=02y(1 + x2 )y ′ + (1 + y 2 ) = 06cos2 xdy = e−2y dx7x2 y ′ − y = 38(1 + x2 )y ′ = 4x/y√ ′xy = y 2 + 1ИРЭА5М910 (1 + y 2 )dx = xydy√11 cos2 ydx + 1 − x2 dy = 0√2xdx = 0121 − x2 dy + arcsiny13 y ln y + xy ′ = 014 y ′ = y 2 − y4№,каф.ВМ16 y ′ · ctg x + y = 2√171 + y 2 dx = xydy215 y(1 + ln y) + xy ′ = 018 xy ′ + y 2 ( x1 − 3x) = 019 (x + 1)y ′ + y(y + 1) = 020 x(1 + y)y ′ = y 221 (y + 2)y ′ = y 3 sin 2xИРЭА22 y ′ + 3y 2 = 3y√()23 4 + x2 y ′ = 2 3 y 224 y ′ − xy 2 = 2xy25 xyy ′ = 1 − x226 yy ′ =1−2xyМ27 y ′ tg x − y = 528 xy ′ + y = y 2()29 x y 2 − 4 dx + ydy = 030 y ′ cos x = lnyy√√31 x y 2 − 1 + yy ′ 1 + x2 = 0()()32 xy 2 + x dx + x2 y − y dy = 05Задача 1.2.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения√1xy ′ +2y′ =3y ′ + ey/x = y/x4y 2 + x2 y ′ = 2xyy ′5xy ′ − y = (x + y) ln x+yx6y′ =78xy ′ + 2x tg xy = y√y + xy = xy ′9xy ′ =− 2 xy + 2ИРЭАy2x2,каф.ВМx+yx−yx2 + y 2 = yx2 +y 2x+yМ10 x2 + y 2 = xyy ′√11 xy ′ = y 2 − x2 + y12 y ′ − 3 cos2 xy =13 y ′ =y2x2yx+ 2 xy − 6()14 xy ′ = y 1 − 3 ln xy152№( 2)x − 2xy y ′ = xy − y 26№y−2xx+2y18 y ′ =yx+1cos xy,каф.ВМ17 y ′ =()19 3x3 y ′ = y 3x2 − y 220 xy ′ + x + 2y = 0√′21 xy − y = x2 − y 2ИРЭА22 y ′ + 2 sin2 xy = xy(√) ′23 y =xy + x y( 2) ′224 xy = x + 2y y( 2) ′225 xy + y = 4x + xy y()226 3xy + y = x2 y ′М27 y ′ =216 x + 2y = xy ′x+3y3x−y28 2x2 y ′ = x2 + y 229 (xy ′ − y) e x = xy30 (x + 2y) y ′ + y = 031 x2 y ′ = y (x + 2y)32 y ′ cos xy =yxcos xy − 17Задача 1.3.1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.22.

Решить задачу Коши.,каф.ВМ№1xy ′ + y = 3e3x , y(1) = e32xy ′ + 2y = 4x2 , y(1) = 33y ′ + y tg x = e2x cos x, y(0) = 3/24(x2 − 1)y ′ + 2xy = 2 sin 2x, y(0) = −45y′ − y =y(0) = 6ИРЭАexcos2 x ,6(x + 1)y ′ − 2y = 4(x + 1), y(0) = −27y ′ + 2xy = e−x (1 + 3x2 ), y(0) = 58y′ −9x ln x · y ′ + y = x2 ln x, y(e) = 02yx+1= ex (x + 1), y(0) = 2М10 y sh x + y ′ ch x = x, y(0) = 311 y ′ + 2y = 4x + ex , y(0) = 1/312 xy ′ − 2y = x3 cos 2x, y(π/4) = 013 y ′ + y ctg x =14 y ′ −2xy1+x2exsin x ,y(π/2) = eπ/2= 1, y(0) = 115 2xy ′ − 6y = −x2 , y(2) = 108№16 y ′ − 2y = xex , y(0) = 21cos3 x ,y(0) = 7,каф.ВМ18 y ′ − y tg x =19 y ′ + 3y = e−3x cos x, y(0) = 520 x ln x · y ′ − y = 8 ln3 x, y(e) = 321 y ′ + 2y = 4x + ex , y(0) = 1/322 y ′ − y th x = ch2 x, y(0) = 623 y ′ =3yx+ x cos x1 , y(1/π) = 1/π 3ИРЭА24 xy ′ − 4y = x5 e2x , y(1) = e2 /225 y ′ − y ctg x = 3 sin x · e3x , y(π/2) = e3π/226 xy ′ + y = sin x, y(π/2) = 2√27 xy ′ + 2y = x, y(1) = 7/5М28 x(y ′ − y) = (1 + x2 )ex , y(1) = 029 y ′ −yx= −x2 + 5, y(1) = 1/230 y ′ + 2 xy = x3 , y(1) = 7/631 y ′ − y tg x =217 xy ′ − y = x3 cos 2x, y(π) = π/41cos x ,y(0) = 432 (1 + x)y ′ − 2y = 4x, y(0) = 29Задача 1.4.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.xy ′ − y = −3xy 32y ′ − y tg x = −y 2 cos x3y ′ − y tg x = −y 2 sin x42xy ′ + (4x − 1)y 2 − 2y = 05√xy ′ − 4y = x2 y6xy ′ + y = y 2 ln x7xy ′ + y = 3x2 y 2ИРЭА,каф.ВМ18y′ −yx= xy 29y′ −yx= ex y 210 2xy ′ − y = 4xy 3М√11 xy ′ + y + (3x − 1) y = 0122№√xy(xy ′ + 2y) = 1√13 xy ′ + (4 + 7 x)y 3 = 2y14 y ′ sin x + y cos x = −y 3 sin4 x15 x ln xy ′ + y = x2 y 2 ln x16 x ln xy ′ − y = y 3 ln x10№17 y ′ + 2xy = 2xy 2,каф.ВМ19 y ′ + xy = (1 + x)e−x y 2218 xy ′ + y = 2x2 y 2 e2x20 xy ′ + y = 2y 2 ln x21 2(xy ′ + y) = xy 222 3(xy ′ + y) = y 2 ln x23 xy ′ + y = xy 2ИРЭА24 xy ′ + y = y 2 lg x25 2(y ′ + y) = xy 226 y ′ − y = xy 227 y ′ − y = 2xy 2М28 y ′ + 2xy = 2x3 y 329 yy ′ ctg x − sin x(1 − y 2 ) = 030 xdy + ydx = y 2 dx31 2xyy ′ − y 2 + x = 032 y ′ +yx= xy 211Задача 1.5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения№8(x3 − 3xy 2 + 2)dx − (3x2 y − y 2 )dy = 0456,каф.ВМ3ИРЭА227( 2x 2)()2e y + 1/x dx + 2ye2x − sin y dy = 0()y − 3x2 + 1 dx + (x + ln y) dy = 0()()1 + 3x2 ln y dx + 3y 2 + x3 /y dy = 0( 2)yxx1+x2 + e sin 2y dx + 2 (y arctg x + e cos 2y) dy = 0( 2)y + ln x dx + (2xy − ln y)dy = 0( 2)5y + ex + sin y dx + (10(xy + 1) + x cos y) dy = 0()()ch x · y 2 − sin x · ch y dx + 3y 2 (sh x + 1) + cos x · sh y dy = 01(2x − y · e−x ) dx + (e−x + sin y) dy = 0()10 y 2 − 2x dx + (2xy + 1/y) dy = 0( 2)( 3)3211 3x y − y dx + x − 3y x dy = 01213141516()()2x cos y − y 3 /x dx − x2 sin y + 3y 2 ln x + ey dy = 0(())3x2xx3tg y + y3 dx + cos2 y − 3 y4 dy = 0()( 3)2 221/x − 3x y + 1/y dx − 2x y + x/y dy = 0( 2x)( 2)2e − 2xy dx − x + cos y dy = 0( 2)3x − cos x · cos y dx + (sin x · sin y + 2y) dy = 0М912№172√y1−x2−1y2)(dx + 2 arcsin x · y +2 yx3)dy = 026()()2x + sin x · y 3 − y dx − 3 cos x · y 2 + x dy = 0192021222324ИРЭА18,каф.ВМ25( 3))( 2xx2y2e + 3x · th y dx + ch2 y + e = 0)( 5()y2 3y43 3y+3xedx+5lnx·y+3xedy = 0x()()cos x · y 2 − 2xy 3 dx + 2 sin x · y − 3x2 y 2 + 3y 2 dy = 0( 3x 2)()3e · y + 2x/y dx + 2e3x · y − x2 /y 2 + 1/y dy = 0( 2)()2y · ch x + 2x · ch y dx + 2 sh x · y + x sh y dy = 0( 3)()y14 425 3dx + 3 tg x · y − 4x y − y2 dy = 0cos2 x − 5x y( 4)( √)y2y√y3+3dx+4x·y−2x4x3 dy = 02 x)(()arcsin y − 3x2 y dx + √ x 2 − x3 + 2√1 y dy = 02(1−y( 3)()x227 ln x + 3x ctg y dx − sin2 y + 1 dy = 0М28 (sh x · ch y + y) dx + (ch x · sh y + x) dy = 0()()22 329 2x + 2x/y dx + 2 y − x /y dy = 0()()30 2x sin y + y 2 · cos x dx + x2 · cos y + 2y sin x = 0()()31 2xy 3 + e−x dx + 3x2 y 2 + 1/y dy = 0(()2232 sh x · y − 3x · ctg y dx + 2 ch x · y +x3sin2 y)dy = 013Часть 2.

Дифференциальные уравнения,допускающие понижение порядка№1y ′′′ x = 6x + 4, x > 03cos2 x · y ′′ = 15y ′′ = 25 cos 5x7y ′′ = (x + 1) cos x9y ′′′ =ln xx211 e−2x · y ′′ = 8x2y ′′ = x sin x4y ′′ = xe−x6y ′′ = ln x8y ′′ = 6x + 8 sin2 x10 y ′′′ = x + 4 cos2 x12 y ′′ + 2 sin x cos3 x = 014 y ′′ (x2 + 1) = 1ИРЭА13 xy ′′′ = 2x + 3,каф.ВМ№2Задача 2.1. Задать начальные условия и решить полученнуюзадачу Коши.15 y ′′′ =24(x+2)516 y ′′ =6x318 xy ′′ = ln x19 y ′′ = xex20 y ′′ = 8x · ch 2x21 x3 y ′′′ = 222 xy ′′ = 1 + x223 x2 y (IV ) + 1 = 0, x > 024 xy ′′′ = 125 (x − 1)3 y ′′ = 1√27 y ′′ = ex/2 + 15 x√29 y ′′ · 1 − x2 = 226 sin2 x · y ′′ = 131 y ′′ = cos3 x32 y ′′ = 4x sh 2xМ17 y ′′ = x ln x28 y ′′ = 1 + ln x30 y ′′ = 2 cos x sin2 x14Задача 2.2.

Найти общее решение дифференциального уравнения№y ′′′ tg x = y ′′ + 12xy ′′ − x = x2 − y ′3y ′′ ctg x = y ′ − 14x(y ′′ − 4) + y ′ = 05y IV cth 2x = 2y ′′′6x4 y ′′ + x3 y ′ = 47(2 + sin x)y ′′′ = y ′′ · cos x8xy ′′ = y ′ + 3x39xy ′′ − y ′ = 010 xy ′′′ + 2y ′′ = 011 xy ′′ − y ′ = x2 ex13 y ′′ +y′x=012 xy ′′ = y ′ + x2 sin x14 xy ′′ = 2y ′ − x16 y ′′ −y′x−1= 3x2 (x − 1)17 y V = y IV18 xy ′′ = y ′ + x2 cos x19 xy ′′′ = y ′′ − xy ′′20 y ′′ − ctg x · y ′ = ctg x21 y ′′′ tg 5x = 5y ′′22 (ex − 1)y ′′′ − ex y ′′ = 023 (1 + x2 )y ′′ = 2xy ′24 y ′′ x ln x = y ′МИРЭА15 2xy ′′ − y ′ = 0,каф.ВМ125 (y ′′ )2 = y ′26 xy ′′ = y ′ ln y ′27 2xy ′′ = 1 + y ′28 y ′′′ ctg 2x + 2y ′′ = 029 y (IV ) th x = y ′′′30 xy ′′ = 2y ′31 y ′′′ +y ′′x=02№32 xy ′′′ − y ′′ +1x=015Задача 2.3.

Найти решение задачи Коши13y ′′ + 2y(y ′ )3 = 0, y(0) = 2, y ′ (0) =2y ′′ = 2y 3 , y(−1) = 1, y ′ (−1) = 13y ′′ = 2 sin3 y · cos y, y(1) = π/2, y ′ (1) = 14y ′′ + (y ′ )2 = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 153y ′ y ′′ = 2y, y(1) = 1, y ′ (1) = 16yy ′′ − (y ′ )2 = y ′ , y(0) = 2, y ′ (0) = 17y ′′ = y ′ ey , y(2) = 0, y ′ (2) = 1,каф.ВМ12№2y ′′ + (y ′ )4 = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 19y ′′ = sin y · y ′ , y(3) = 0, y ′ (3) = −1ИРЭА810 y ′′ y 3 + 64 = 0, y(0) = 4, y ′ (0) = 211 tg y · y ′′ = 2(y ′ )2 , y(1) = π/2, y ′ (1) = 2М12 y ′′ = 8y 3 , y(0) = 1, y ′ (0) = 213 yy ′′ + 4(y ′ )2 = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 1/514 y ′′ + 2 sin y cos3 y = 0, y(2) = 0, y ′ (2) = 115 y ′′ = 2yy ′′ , y(4) = 1, y ′ (4) = 1√16 y ′′ = y y ′ , y(0) = 6, y ′ (0) = 916№17 y ′′ = y ′ + (y ′ )2 , y(2) = 0, y ′ (2) = 1,каф.ВМ19 y ′′ = (y ′ )2 , y(1) = 0, y ′ (1) = 120 y ′′ = 2e4y , y(2) = 0, y ′ (2) = 1π ′, y (0) = 12√√′′′ 2′22 yy + (y ) = 0, y(1) = 2, y (1) = 1/ 221 y ′′ = y ′ cos y, y(0) =√23 2yy + (y ) = 0, y(1) = 2, y (1) = 1/ 2′′′ 2′ИРЭА24 y ′′ = 72y 3 , y(2) = 1, y ′ (2) = 625 yy ′′ = (y ′ )2 , y(0) = 2, y ′ (0) = 426 2yy ′′ = 1 + (y ′ )2 , y(1) = 5, y ′ (1) = 427 y 2 y ′′ − 4y ′ = 0, y(1) = 1, y ′ (1) = −4М228 (y ′′ )2 = y ′ , y(0) = , y ′ (0) = 13√√29 y 3 y ′′ = 4y 4 − 4, y(0) = 2, y ′ (0) = 230 y ′′ = 8 sin3 y cos y, y(1) = π/2, y ′ (1) = 2√31 y ′′ = 1 − (y ′ )2 , y(1) = 0, y ′ (1) = 132 y ′′ +2′ 21−y (y )218 y ′′ = 128y 3 , y(0) = 1, y ′ (0) = 8= 0, y(0) = 2, y ′ (0) = 117Часть 3.