v_eff (Эффективный потенциал и квазисредние Боголюбова)

ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ИКВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВАД. В. ПерегудовАннотация. В настоящей работе метод эффективного потенциала, который используется в квантовой теории поля при изучении спонтанного нарушения симметрии,рассматривается с точки зрения процедуры квазиусреднения Боголюбова. Показано,что метод эффективного потенциала является замаскированным вариантом этой процедуры. Обсуждается подход к проблеме фазовых переходов с использованием теориикатастроф. С микроскопической точки зрения обосновано существование используемых в таком подходе потенциалов. Показано, что в случае нарушенной симметрииневыпуклый эффективный потенциал не является преобразованием Лежандра от производящего функционала связных функций Грина.

Вместо этого он является частьюпотенциала, используемого в теории катастроф. Связь эффективного потенциала спреобразованием Лежандра от производящего функционала связных функций Гринаопределяется правилом Максвелла. Приведена корректная формулировка для вычисления квазисредних в методе эффективного потенциала1. ВведениеКвантовая теория поля и статистическая механика представляют собой два раздела теоретической физики, в которых мы встречаемся со спонтанным нарушениемсимметрии.

Однако, несмотря на близость задач и общий источник этого явления(бесконечное число степеней свободы у системы), теория поля и статистическаямеханика используют совершенно разные методы его изучения. Со времен работы Коулмана и Вайнберга [1] основным средством изучения спонтанного нарушения симметрии в квантовой теории поля служит метод эффективного потенциала,тогда как в статистической механике пользуются процедурой квазиусреднения,предложенной Боголюбовым [2]. Настоящая работа посвящена в основном установлению соответствия между этими двумя методами. Ее содержание составляюттри основных идеи.Во-первых, метод эффективного потенциала рассматривается с точки зренияпроцедуры квазиусреднения.

Показано, что метод эффективного потенциала является замаскированным вариантом этой процедуры. Такое понимание позволяетпролить свет на некоторые аспекты метода эффективного потенциала, которыеостаются недостаточно ясными при стандартном изложении [1,3]. В частности,нарушение симметрии обычно связывают с невыпуклым по “классическому полю” эффективным потенциалом, имеющим “нетривиальные” минимумы, однакоаналогичная функция в статистической механике (скажем, свободная энергия) выпукла по соответствующей термодинамической переменной [4,5]. Экстремальные1Typeset by AMS-TEX2Д. В. ПЕРЕГУДОВсвойства эффективного потенциала (см.

раздел 2) также фактически вводятся какдополнительное предположение.Во-вторых, с помощью теоремы о максимальном слагаемом статсуммы обосновывается существование потенциала, который используется при применении методов теории катастроф к исследованию фазовых переходов (для краткости будемназывать его “катастрофическим”).

Оказывается, что он имеет замечательнуюструктуру и по существу определяется некоторой функцией “параметров порядка”.В-третьих, мы считаем, вопреки Иона-Лазинио [6], что эффективный потенциал, если его определить как производящий функционал сильно связных функцийГрина, не является преобразованием Лежандра от производящего функционаласвязных функций Грина для теории с нарушенной симметрией. Вместо этого онявляется частью “катастрофического” потенциала и связан с преобразованием Лежандра от производящего функционала связных функций Грина правилом Максвелла.Несколько слов о структуре работы. В разделе 2 мы приводим стандартноеизложение метода эффективного потенциала.

В нескольких комментариях в концеэтого раздела указывается на “белые”, с нашей точки зрения, пятна в стандартномизложении. Раздел 3 посвящен качественному рассмотрению модели λφ4 с точкизрения метода квазисредних. Здесь же приводится сравнительный анализ методовэффективного потенциала и квазиусреднения и устанавливается их тождественность. В разделе 4 кратко излагается подход теории катастроф, и, с помощьютеоремы о максимальном слагаемом статсуммы, обосновывается существование“катастрофического” потенциала. Дальнейший анализ приводит к обоснованиюправила Максвелла. В разделе 5 выясняется связь эффективного потенциала спроизводящим функционалом связных функций Грина. Приведена формула длявычисления квазисреднего в методе эффективного потенциала.

Раздел 6 содержитпример явно решаемой задачи статистической механики, который иллюстрируеткачественные рассмотрения предыдущих разделов. Наконец, в разделе 7 краткосформулированы основные результаты работы.2. Соображения, которые обычно приводят в теорииполя в связи с методом эффективного потенциалаПоскольку нам придется неоднократно апеллировать к тем или иным аспектамметода эффективного потенциала, приведем его стандартное изложение.

В качестве такового используем почти дословный перевод отрывка оригинальной работыКоулмана и Вайнберга [1] (оно практически не менялось, сравни [3]). Хотя авторыне выписывают лагранжиана явно, будем держать “в уме” теорию λφ4 с “неправильным” знаком массового члена:(1)L = 12 (∂µ φ∂ µ φ + m2 φ2 ) −λ 4φ .4!Итак, стандартное изложение.Для удобства обозначений ограничимся теорией единственного скалярного поля φ, динамика которого описывается лагранжианом L(φ, ∂µ φ). Давайте рассмот-ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВА3рим эффекты добавления к лагранжиану члена взаимодействия φ с внешним источником J, c-числовой функцией пространства и времени:L(φ, ∂µ φ) → L + J(x)φ(x).Соответствующий производящий функционал W (J) определяется через амплитудуперехода из вакуума далекого прошлого в вакуум далекого будущего в присутствииисточника J(x):eiW (J) = 0+ |0− J .Мы можем разложить W в функциональный ряд Тейлора 1 W =d4 x1 .

. . d4 xn G(n) (x1 . . . xn )J(x1 ) . . . J(xn ).n!nХорошо известно, что коэффициенты этого ряда есть связные функции Грина, G(n)— это сумма всех связных диаграмм Фейнмана с n внешними линиями.Классическое поле φc определяется равенствомφc (x) =0+ |φ(x)|0− JδW=.δJ(x)0+ |0− JЭффективное действие Γ(φc ) определяется функциональным преобразованием ЛежандраΓ(φc ) = W (J) −d4 x J(x)φc (x).Из этого определения прямо следует, чтоδΓ= −J(x).δφc (x)Это уравнение окажется решающим для изучения спонтанного нарушения симметрии. Эффективное действие можно разложить аналогично W : 1 d4 x1 . . .

d4 xn Γ(n) (x1 . . . xn )φc (x1 ) . . . φc (xn ).Γ=n!nМожно показать, что коэффициенты этого ряда являются одночастично неприводимыми функциями Грина. Имеется альтернативный путь разложить эффективное действие: вместо разложения по степеням φc можно разложить по степенямимпульса (в точке, где все внешние импульсы равны нулю). В координатном пространстве это выглядит какΓ = d4 x [−V (φc ) + 12 (∂µ φc )2 Z(φc ) + . . . ].V (φc ) — обычная функция, не функционал — называется эффективным потенциалом. Сравнивая два приведенных разложения, легко видеть, что n-ая производная4Д.

В. ПЕРЕГУДОВот V равна сумме всех сильно связных диаграмм с n нулевыми внешними импульсами. В древесном приближении V равен просто обычному потенциалу, сумме всехчленов лагранжиана без производных, взятой с обратным знаком.Теперь мы готовы применить этот аппарат к изучению спонтанного нарушениясимметрии.

Давайте предположим, что лагранжиан обладает внутренней симметрией, для простоты пусть это будет преобразование φ → −φ. Тогда спонтанноенарушение симметрии появляется, если квантовое поле φ приобретает ненулевоевакуумное среднее значение, даже когда источник J(x) равен нулю. Это случается,когдаδΓ=0δφcдля некоторого ненулевого φc . Далее, поскольку мы обычно интересуемся толькослучаем, когда вакуумное среднее трансляционно инвариантно, мы можем переписать это в видеdV=0dφcдля некоторого ненулевого φc . Значение φc , для которого это уравнение выполняется, — это среднее значение φ в новом (асимметричном) вакууме. Легко видеть,что требование стабильности относительно малых возмущений приводит к тому,что φc должно быть минимумом потенциала.Сделаем несколько комментариев к стандартному изложению.

Совершенно непонятно, зачем вводить члены с источником, да еще зависящим от координат. Неясенмотив для выбора именно такой операторной структуры этих членов. Ничем немотивирован переход от W к Γ, при этом о W начисто забывают и даже никогда непытаются восстановить. Спонтанное нарушение симметрии обычно связывают сневыпуклым эффективным потенциалом V , имеющим “нетривиальные минимумы”(рис.

1), тогда как преобразование Лежандра определено для выпуклых функцийи переводит их опять-таки в выпуклые. Замечание о том, что φc должно бытьминимумом потенциала является скорее благим пожеланием, нежели следствиемкакого-то осмысленного принципа.VφcРис. 1. Невыпуклый эффективный потенциалКак будет видно из дальнейшего, положение проясняется, если мы рассмотримпроблему с точки зрения метода квазисредних.ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КВАЗИСРЕДНИЕ БОГОЛЮБОВА53.

Метод квазисреднихПосмотрим теперь на теорию, описываемую лагранжианом (1), с точки зренияметода квазисредних. Чтобы избежать мнимостей и подчеркнуть сходство со статистической механикой, будем рассматривать евклидову теорию. Прежде всегомы замечаем, что лагранжиан обладает симметрией относительно преобразованияφ → −φ. Этим обеспечивается равенство нулю среднегоexpL(y) d4y φ(x) Dφ.φ(x) = expL(y) d4 y DφОднако, из-за “неправильного” знака массового члена в теории возникает спонтанное нарушение симметрии, поэтому нужно вычислять не обычные средние, аквазисредние. Технически квазиусреднение можно произвести, введя в лагранжиан слагаемые, нарушающие симметрию.

В данном случае проще всего выбратьих в форме Jφ(x) (J не зависит от x. Трансляционная инвариантность не нарушена, и квазисредние не зависят от x.) Квазиcреднее ≺φ(x) определяется тогдавыражениемexp (L(y) + Jφ(y)) d4y φ(x) Dφ.≺φ(x) = lim J→0exp (L(y) + Jφ(y)) d4 y DφПредел J → 0 нуждается в некотором пояснении, к которому мы сейчас перейдем.Отметим прежде всего, что можно записать ≺φ(x) какdF (J),J→0dJ(2)где≺φ(x) = limF (J) =1Ωln exp (L(y) + Jφ(y)) d4y Dφ(Ω — четырехмерный объем) аналогична W в методе эффективного потенциала.Отметим некоторые свойства F (J).

Во-первых, F (−J) = F (J). Это напоминаниео былой симметрии φ → −φ. Во-вторых, по крайней мере формально, F (J) —выпуклая функция [4,5]. Далее, мы ожидаем, что dF/dJ конечна при J → 0. Этоможно совместить с четностью F (J), только если F (J) имеет излом в нуле (типа |J|), выпуклость F (J) говорит, что весь график лежит сверху от касательныхв нуле (рис.

2). Таким образом, мы должны еще уточнить, с какой стороны J → 0.Будем считать J → +0, тогда квазисреднее однозначно определено. (Проблема спределом “выключения” источника является общей для изложенного способа квазиусреднения, сравни, например, [4,7].)Поскольку F (J) выпукла, мы можем сделать преобразование Лежандра и определить фукнциюG(φc ) = max(Jφc − F (J)),Jаналогичную Γ в методе эффективного потенциала.