1-01 (Описания лабораторных работ)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛЦель работы: ознакомление с методами измерения физических величин и расчетом погрешностей проводимых измерений на примере определения плотности твердого тела.Задание: определить линейные размеры изучаемого тела, необходимые для расчета его объема, взвесить тело и рассчитать его плотность.Оценить погрешности отдельных измерений и точность полученного результата.Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить основные положения теории ошибок, ознакомиться с измерительным инструментом, используемым в работе.Библиографический список1.

И. В. Савельев, Курс общей физики, М.: Наука, 1982, том I, гл. 5, § 392. Физический практикум (под редакцией В. И. Ивероновой), М: Физматгиз, 1962, введение3. Н. Н. Евтихиев, А. Г. Черкашина, Основы статистической теорииизмерений, М.: МИРЭА, 1978.4. А. Н. Зайдель, Ошибки измерений физических величин, Л.: Наука, 1974.Контрольные вопросы1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.В чем причина возникновения ошибок при измерениях?Что называют случайной погрешностью?Что называют систематической погрешностью?Как определить погрешность прибора?Какова цель многократных измерений?Как найти абсолютную погрешность отдельного измерения?Что такое средняя квадратичная погрешность?Как оценить погрешность прямого измерения?Что такое относительная погрешность?Как оценить погрешность косвенного измерения?Какова погрешность величин, значения которых даются в виде готового результата?Typeset by AMS-TEX112.

Как округляют погрешности и окончательный результат?Описание аппаратуры и метода измеренийДля оценки плотности твердого тела необходимо знать его объем и массу. Массу тела можно определить взвешиванием его на рычажных весах.Объем тела правильной геометрической формы определяют, измеряя еголинейные параметры.Таким образом, чтобы узнать плотность тела, необходимо провести рядфизических измерений. Под измерением понимается сравнение измеряемойвеличины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Измеренияделятся на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно с помощью измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах.Примерами прямых измерений могут служить измерения длин линейкой,промежутков времени секундомером и т. п.При косвенных измерениях искомое значение величины не измеряетсянепосредственно, а находится по известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными при прямых измерениях. К косвеннымотносятся, например, измерения объема или плотности твердых тел, измерение скорости движения тела по измерениям отрезков пути и промежутков времени, измерение удельного сопротивления проволоки и т. д.Никакая физическая величина не может быть, однако, определена с абсолютной точностью.

Другими словами, любое измерение всегда производится с некоторой ошибкой — погрешностью. Поэтому полученное врезультате измерений значение какой-либо величины должно быть записано в видеx ± ∆x,(1)где ∆x — абсолютная погрешность измерения, характеризующая возможное отклонение измеренного значения данной величины от его истинногозначения. При этом, поскольку истинное значение остается неизвестным,можно дать лишь приближенную оценку абсолютной погрешности.Поскольку причины возникновения ошибок бывают самыми разными,необходимо классифицировать погрешности. Только тогда возможна ихправильная оценка, так как от типа погрешностей зависит и способ ихвычисления.Погрешности подразделяются на случайные и систематические.Систематической погрешностью называют составляющую погрешности измерения, остающуюся постоянной или закономерно изменяющуюсяпри повторных измерениях одной и той же величины.

Она может быть свя2зана с неисправностями измерительных приборов, неточностью их регулировки, неправильной их установкой и т. п. Систематические погрешностив принципе могут быть исключены, поскольку причины, их вызывающие,в большинстве случаев известны.Случайной погрешностью называют составляющую погрешности измерения, изменяющуюся случайным образом при повторных измеренияходной и той же величины. Случайные погрешности зависят от условий,в которых производятся измерения, от специфики измеряемых объектови т. д.

Эти погрешности принципиально неустранимы, однако их величина уменьшается при использовании многократных измерений.Выделяют также погрешности приборов, которые могут иметь как систематический, так и случайный характер. Эти погрешности связаны снесовершенством любого (исправного) измерительного инструмента. Еслизначение измеряемой величины определяется по шкале инструмента, абсолютная погрешность прибора считается, как правило, равной половинецены деления шкалы (например, линейки) или цене деления шкалы, еслистрелка прибора перемещается скачком (секундомер).

Для приборов, снабженных нониусом, погрешность можно считать равной точности нониуса.Погрешности электроизмерительных приборов определяют по их классуточности.Как уже указывалось, случайные погрешности можно уменьшить, многократно измеряя одну и ту же величину. Однако максимально возможнаяточность измерения определяется теми приборами, которые используютсяв эксперименте.

Поэтому увеличение числа измерений имеет смысл лишьдо тех пор, пока случайная погрешность не станет явно меньше погрешности прибора.Предположим, что мы произвели n прямых измерений величины x. Обозначим x1 , x2 , . . . , xn результаты отдельных измерений, которые вследствие наличия случайных погрешностей будут неодинаковы. В теориивероятностей доказывается, что истинное значение измеряемой величины(при отсутствии систематических погрешностей) равно ее среднему значению, получаемому при бесконечно большом числе измерений, т. е.n1xi .n→∞ ni=1xист = lim(2)Поэтому наиболее близким к истинному будет для данной серии измеренийсреднее арифметическое значение, а именноnxср =1xi .n i=13(3)Отклонения измеренных значений xi от xср носят случайный характери называются абсолютными ошибками отдельных измерений∆xi = |xср − xi |.(4)При ограниченном числе измерений надо оценить абсолютную погрешность измеряемой величины, т. е.

величину расхождения между xср и xист ,которое зависит от абсолютных ошибок отдельных измерений ∆xi . Вкачестве меры абсолютной случайной погрешности можно взять среднееквадратичное отклонение (среднюю квадратичную погрешность) даннойвеличины, вычисляемое по формулеn2i=1 (∆xi ).(5)∆xкв =n(n − 1)Это не означает, однако, что истинное значение измеряемой величиныобязательно будет заключено в интервале от xср − ∆xкв до xср + ∆xкв .Оказывается, что даже при очень большом числе измерений вероятностьтого, что истинное значение попадет в указанный интервал, не превышает 0.7.

Другими словами, надежность полученного результата составитоколо 70 %. При малом числе измерений (n < 10) оно будет еще меньше.Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет винтервал, заданный величиной абсолютной погрешности, называется доверительной вероятностью или коэффициентом доверия p, а соответствующий интервал — доверительным интервалом. Достоверность результата при данном числе измерений можно увеличить, уменьшая его точность,т. е.

расширяя доверительный интервал.Обычно случайную погрешность рассчитывают по формулеn2i=1 (∆xi ),(6)∆xсл = αn,pn(n − 1)где αn,p — коэффициент, зависящий от числа измерений и выбранногозначения вероятности p. Значения αn,p для ряда случаев приведены втаблице 1.Таблица 1p n3456789101000.5 0.82 0.76 0.74 0.73 0.72 0.71 0.71 0.70 0.680.7 1.39 1.25 1.19 1.16 1.13 1.12 1.11 1.10 1.040.95 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 1.984Необходимая степень надежности результата определяется спецификойпроизводимых измерений.

В условиях учебной лаборатории достаточнобрать p = 0.7.Для окончательной оценки величины абсолютной погрешности ∆x необходимо сравнить вычисленную по формуле (6) случайную погрешность спогрешностями других видов. Если путем многократных измерений удалось сделать случайную ошибку заметно меньше приборной (при незначительных систематических ошибках), то в качестве ∆x можно взять погрешность использовавшегося прибора. В противном случае в качестве ∆xберут значение ∆xсл .Для сравнительной оценки точности измерения различных величин используют так называемую относительную погрешность, равную отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величиныE=∆x.xср(7)Относительную погрешность иногда выражают в процентах.

ТогдаE=∆x100 %.xсрКак уже отмечалось, измерения плотности тел относятся к косвенным измерениям. При таких измерениях физическая величина A являетсяфункцией величин x, y, z, . . . , которые могут быть измерены непосредственно приборами. Результат косвенного измерения записывается в видеA ± ∆A,(8)где A = A(x, y, z, . . . ) — величина, рассчитанная по средним значениямпараметров x, y, z, . .

. , ∆A — абсолютная погрешность, зависящая отпогрешностей этих параметров.Абсолютную погрешность косвенных измерений удобнее рассчитать ужепосле того, как найдена относительная погрешность. Эту погрешностьможно записать в виде E = dA/A. С другой стороны dA/A = d(ln A).Таким образом, относительная погрешность величины A равна полномудифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых параметров, т. е.E = d[ln A(x, y, z, .

. . )].5(9)Рассмотрим пример расчета E при определении плотности тела, имеющего форму цилиндра. Выражение для плотности будет тогда иметьследующий вид4m,(10)ρ=πD2 Hгде D — диаметр основания цилиндра, H — высота цилиндра.Таким образом, ρ является функцией параметров m, D и H, определяемых прямыми измерениями.Чтобы найти E = ∆ρ/ρ, прологарифмируем выражение (10)ln ρ = ln 4 + ln m − ln π − 2 ln D − ln H.(11)Теперь продифференцируем уравнение (11) слева и справаdm dπdD dHdρ=++2+.ρmπDH(12)Так как погрешности отдельных измерений, как правило, не компенсируют друг друга, необходимо при этом заменить знаки “−” на “+”.Наконец, заменяя дифференциалы dm, dH и т. д.