МЕХответы (Ответы на экзаменационные вопросы)

1.Аксиомы статики. Теорема о трех силах.

Аксиома о равновесии: Если на абсолютно твёрдое тело действуют только 2 силы, то это тело может находиться в состоянии покоя относительно системы отсчёта тогда и только тогда, когда эти две силы лежат на одной прямой, численно равны по модулю и противоположны по направлению.

Аксиома об упрощении системы сил: Состояние абсолютно твёрдого тела не изменится, если к действующей системе сил добавить (отбросить) нуль. Следствие: Силу, действующую на абсолютно твёрдое тело можно не изменяя состояния этого тела, переносить вдоль её линии действия.

Аксиома о векторном характере действия сил: Если на абсолютно твёрдое тело действует какая-либо система сил, среди которых найдутся 2 силы, линии действия которых пересекаются, то исходное состояние тела не изменится, если эти две силы заменить их равнодействующей. (По правилу параллелограмма). Справедливо и обратное рассуждение, что силу можно разложить на 2 составляющие.

Аксиома «Третий закон Ньютона»: Два тела действуют друг на друга с одинаковыми по модулю силами, лежащими на одной прямой, но противоположно направленными.

Аксиома «О связи»: Состояние абсолютно твёрдого тела или системы таких тел не изменится, если действие связи будет заменено соответствующими реакциями связи.

Аксиома отвердевания: Состояние системы а. т. т. не изменится, если к действующим связям дополнительно добавить ещё какую – либо связь, однако обратное утверждение неверно.

Теорема о трех силах: Если 3 силы удерживают тело в равновесии и линии действия 2-х сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

2.Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам.

Доказательство: Любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к 2-м силам. Таким образом, имеем две силы и некоторую точку , если окажется что эта  находится на линии действия одной из сил, то доказывать нечего т. к. силу можно переносить вдоль линии её действия, поэтому рассмотрим случай, когда силы P, Q являются скрещивающимися и  не лежит на линии действия этих сил.

С троим две плоскости по  О: П₁={, P} П₂={, Q}.

Что и требовалось доказать

Теорема «О приведении произвольной системы сил к двум силам».

Любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к 2-м силам.

Доказательство основано на доказательстве леммы о трех силах.

Лемма о трёх силах: Любая система из трёх сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.

Доказательство:

Строим две плоскости: по точке и линиям действия сил.

П ₁={А, F₂} П₂={А, F₃}.

Лемма доказана. На её основании можно утверждать что теорема доказана т. к. Любые три силы можно сводить к двум до тех пор пока останется две.

3.Момент относительно точки и оси.

Определение: Моментом силы относительно 

н азывается векторное произведение двух векторов, один из которых является радиус – вектором, проведённый из , относительно которой вычисляется момент к точке приложения второй силы.

1 -e следствие: Численное значение вектора момента силы относительно  не изменится, если силу переместить туда, либо вдоль её линии действия.

Доказательство:

2-е следствие: Момент равнодействующей равен сумме моментов сил её составляющих.

Доказательство:

что и требовалось доказать.

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно любой точки этой оси.

4 .Момент силы относительно оси.

Определение: Моментом силы относительно оси

- равен проекции вектора момента, вычисленного относительно любой точки на оси проекции вектора момента на эту ось.

П римечание. 1) когда Мz =0, если сила и ось лежат в одной плоскости.

2) момент сил не изменится при переносе силы по линии действия.

5.Пара сил, её главный вектор и главный момент.

Пара сил – это система двух сил, приложенных к одному и тому же А. Т. Т. которые равны и противоположно направлены, но не лежат на одной прямой.

Момент пары сил – это вектор, перпендикулярный к плоскости действия пары сил и направленный в ту сторону, откуда действие пары сил видно против часовой стрелки. Вектор пары сил – это свободный вектор.

Следствие: Главный вектор пары сил всегда равен 0, а главный момент не зависит от выбора полюса и равен моменту пары.

Момент пары сил по модулю равен модулю одной из сил пары на плечо пары, где плечо пары – это кратчайшее расстояние между линиями действия рассматриваемой пары сил.

Доказательство:

Главным вектором системы сил называется, геометрическая сумма всей сил данной системы, действующих на данную систему.

Главным моментом системы сил – это сумма моментов всех сил данной системы, вычисленной относительно того же полюса, относительно которого вычисляется момент.

6.Теорема Пуансо о приведении системы сил к силе и паре сил.

Лемма Пуансо: Состояние А. Т. Т. не изменится, если какую – либо из сил, действующих на это тело, перенести (параллельным переносом) в какую - либо

другую точку этого тела, при этом необходимо добавить момент пары сил, который равен моменту силы, вычисленному относительно новой точки.

Доказательство:

основано на использовании нуль – системы.

Т еорема Пуансо: Любая система сил может быть приведена к такой силе, равной главному вектору этой системы и приложенной к заранее указанной точке, и к паре сил, момент которой равен главному моменту этой системы, вычисленный относительно той же точки.

Доказательство: Воспользуемся результатом теоремы о приведении произвольной системы сил к двум силам, одна из которых приложена в указанной точке.

Далее строим плоскость по  и линии действия второй силы. (Такая плоскость будет единственна). Введём нуль – систему, такую что бы G₁ совпадало с Q.

7.Условия равновесия абсолютно твёрдого тела.

А. Т. Т. находится в равновесии, если главный вектор, действующий на систему сил, равен 0, и главный момент этой системы, вычисленный относительно любой точки, равен 0.

Теорема: Для того чтобы А. Т. Т. находилось в равновесии под действием какой – либо системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент, вычисленные относительно любой точки, равнялись 0.

Доказательство:

Необходимость: Предположим, что А. Т. Т. находится под действием некоторой системы сил {F₁,…,F_n} в равновесии, т. е. {F₁,…,F_n}=0. Докажем что главный вектор и главный момент этой системы сил, вычисленный относительно любого полюса равен 0. Для доказательства воспользуемся теоремой о приведении произвольной системы сил к 2-м силам, одна из которых приложена в указанной точке. В таком случае рассмотрим систему сил:

Д остаточность: Если главный вектор, главный момент некоторой системы сил, вычисленные относительно любой точки, равны 0, то система сил {F₁,…,F_n} находится в равновесии. ({F₁,…,F_n}~0).

Д оказательство: Рассмотрим систему сил {F₁,…,F_n} на основании теоремы Пуансо можно привести её к главному вектору и главному моменту: {F₁,…,F_n}~{R, L_*}~0. Теорема доказана.

8.Уравнения равновесия абсолютно твёрдого тела под действием произвольной системы сил в пространстве.

Из условий равновесия следует, что главный вектор и главный момент равны 0. Тогда:

С ходящаяся система сил – система, у которой линии действия пересекаются в одной точке. Если рассматривать именно такую систему сил, то начало координат рекомендуется поместить именно в эту точку. Тогда относительно этой точки главный момент превращается в точку. Таким образом, для сходящийся системы сил независимых уравнений будет 3:

Система параллельных сил – для этой системы рекомендуется выбирать координаты таким образом, чтобы одна из осей была параллельна линиям действия сил.

9 .Уравнения равновесия абсолютно твёрдого тела под действием плоской системы сил.

П лоская система сил – для этой системы систему координат надо выбирать так, чтобы силы лежали в одной плоскости с любыми двумя осями координат.

Различные виды уравнений равновесия плоской системы сил.

1.

2.где точки: А, В, С не лежат на одной прямой.

1 0.Силовой винт. Классификация винтов. Ось винта и её уравнение. Статические инварианты.

Винт – объект, элементами приведения которого являются: главный вектор и главный момент, вычисленные относительно какого – либо полюса.

Винтовая ось – Это прямая представляющая собой место точек, относительно которых вычисляемый главный момент системы сил, оказывается коллинеарным главному вектору. Такое численное значение главного момента будет минимальным.

Уравнение винтовой оси: