125182 (Опір матеріалів: інженерні методи розрахунків)

1. Предмет і завдання опору матеріалів

Інженерам будь якої спеціальності необхідно створювати надійні споруди, машини і прилади. Надійними прийнято вважати такі конструкції, які є достатньо міцними, достатньо жорсткими та достатньо стійкими. Міцність – здатність чинити опір не руйнуючись. Жорсткість – здатність деформуватися в заданих межах. Стійкість – здатність зберігати початкову форму рівноваги. Таким чином, опір матеріалів – наука про інженерні методи розрахунків на міцність, жорсткість, стійкість. ОМ – розділ механіки твердого тіла, який опирається на знання фізики, математики і теор. мех. і є основою для спец дисциплін. Н-д теорії машин і мех-мів, теорія споруд, деталі машин, спец машини і прилади і т д. Об’єктом вивчення в ОМ є реальне тверде тіло, що здатне деформуватись, тобто змінювати форму і розміри під навантаженням.

2. Сили та деформації

В ОМ сили поділяються на 2 класи:

• Зовнішні

• внутрішні

Зовнішні – результат дії інших тіл на дане тіло. Зовнішні сили поділяються на:

♦ поверхневі - прикладені до поверхні тіла. В свою чергу вони поділ на:

• зосередженні (Н)

• розподілені по поверхні або вздовж лінії (Н/м)

• За площею (Н/м²)

• Об’ємні (Н/м³) - сила гравітації, електромагнітна дія, теплова дія.

♦ об’ємні - прикладені до кожної частки тіла.

♦ постійні

♦ тимчасові – за х-ром дії

♦ статистичні – при яких відсутні пришвидшення точок

♦ динамічні – при яких виникають значні пришвидшення точок тіла, внаслідок чого є додаткові сили інерції, які необхідно враховувати.

Внутрішні – в ОМ розглядаються тільки ті внутр сили, які виникають внаслідок навантаження, їх називають силами опору.

Існує 4 простих деформації:

1. розтяг або стиск

2. зсув

3. кручення

4. згин

Розтяг або стиск стрижня спричиняється силами, що діють вздовж його осі. Зсув – коли на тіло діють поперечні сили. Кручення – спричинюється парами сил, площини дії яких перпендикулярні до осі стрижня. Коли присутній крутний момент Т. Згин – вісь балки деформується в площині, що збігається з силовою. Присутні згинаючі моменти.

3. Реальне деформоване тіло та його модель

В ОМ реальне тверде тіло моделюють з допомогою наступних гіпотез:

◄ Матеріал суцільний і однорідний

◄ Матеріал ізотропний (ізо – однаковий, тропія - властивості) – має однакові властивості в усіх напрямках. Але є й анізотропні матеріали: дерево, залізобетон, бетон.

◄ Матеріал ідеально пружний – повністю відновлює форму і розміри після навантаження.

◄ М-л підкоряється законові Гука (існують винятки)

◄ Гіпотеза плоских перерізів – перерізи, що є плоскими і нормальними до осі до деформації залишаються такими і після деформації.

Якщо справедливими є гіпотез 4 і 5 то це дозволяє застосовувати принцип незалежності дії сили (результат дії суми сил може визначатися як сума результатів дії кожної сили окремо).

4. Внутрішні сили. Метод перерізів

Внутрішні сили – в ОМ розглядаються тільки ті внутр сили, які виникають внаслідок навантаження, їх називають силами опору. Внутрішні сили визначають методом перерізів. Розглянемо сис-му відліку. Помістимо в ній тверде тіло.

Внутрішні сили можуть бути визначеними з умов рівноваги залишеної частини тіла.

Σx = 0; Σy = 0;Σz = 0;

Σm_x = 0; Σm_y = 0; Σm_z = 0.

Якщо цієї умови достатньо для визначення внутр сил, то такі задачі назив. статично визначеними. Якщо ж цієї умови недостатньо, то такі зад назив. статично невизнач. і розв’язують спец методами.

5 . Напруга – міра інтенсивності внутр сил. Деформації в точці навантаженого тала

∆А – невелика площина

∆R – рівнодійна внутр сил на даній площині

Якщо ∆R/∆А то ми знайдемо середню напругу: ∆R/∆А = P_m [Па] – сер мех. напруга на площині ∆А

lim_∆А→0∆R/∆А = P – мех. напруга в точці навантаження тіла (повна)

∆N – нормальна складова внутр сили

∆Q – дотична складова внутр сили

lim_∆А→0∆N/∆А = σ – нормальна напруга

lim_∆А→0∆Q/∆А = τ – дотична напруга

Р² = σ² + τ² – зв’язок між напругами

Поділ напруг на нормальну і дотичну має глибокий фізичний зміст, кожна з цих напруг спричиняє свій х-тер руйнування:

σ – руйнування відривом

τ – руйнування зсувом або зрізом

6. Поняття про основні конструктивні форми. Вади простих деформацій бруса

Основними конструктивними формами є:

Брус - тіло у якого поперечні розміри і довжина відрізняються на порядок. Вони бувають криволінійні, прямолінійні, сталого попер перер.

Пластина – тіло обмежене 2-ма площинами на близькій відстані одна від одної.

Оболонка – тіло обмежене 2-ма криволінійними поверхнями на близькій відстані одна від одної. Вони бувають сферичними, циліндричними, конічними.

Масив – тіло що має всі розміри одного порядку. До таких відносять: основи та фундаменти, греблі, підпорні стіни та ін..

Існує 4 простих деформації бруса:

1. розтяг або стиск

2. зсув

3. кручення

4. згин

Розтяг або стиск стрижня спричиняється силами, що діють вздовж його осі. Зсув – коли на тіло діють поперечні сили. Кручення – спричинюється парами сил, площини дії яких перпендикулярні до осі стрижня. Коли присутній крутний момент Т. Згин – вісь балки деформується в площині, що збігається з силовою. Присутні згинні моменти.

7. Механічні х-тики будівельних матеріалів. Діаграми розтягу і стиску

Міцність м-лу залежить від його фізичної природи, отже виникає потреба визначити деякі числові х-ки міцності та пластичності м-лів, такі х-ки визначають експериментально. Числові х-ки міцності та практичності називають механічними х-ками і визначають випробовуючи спец зразки на спец лаб обладнанні. Стандартні зразки на розтяг: циліндричний та призматичний. Стандартні зразки на стиск: циліндри та куби. Такі зразки випробовують на спец випробовувальних машинах з гідравлічним або механічним принципом дії. Випробовування виконують при статичному навантаженні зразка.

Точка 1 відповідає границі пропорційності м-лу. Границею пропорційності є відношення:

σ_pr = F_pr /A₀

A₀ – початкова площа поперечного перерізу.

σ_pr – границя пропорційності – це така найбільша нормальна напруга, до якої спостерігається прямо пропорційна залежність між силою та подовженням.

На ділянці 0-1 має місце лише пружна деформація матеріалу. На ділянці 1-2 починається відхилення від прямо пропорційної залежності. Т 2 відповідає границі пружності матеріалу і визначається за ф-лою: σ_e = F_e/A_o

Границя пружності – це така найб нормальна напруга при якій залишкова деформація не перевищує нормативного значення (0,001-0,05%). На ділянці 1-2 спостерігається нормативна залишкова деформація. Ділянка 2-3 називається площиною текучості матеріалу. Т 3 відповідає границі текучості матеріалу, яка визначається за ф-лою:

σ_y = F_y/A_o

Границя текучості – це така найб норм напруга при якій ріст деформації відбувається без помітного затрачання сили. Ділянка 3-4 відповідає так званому зміцненню матеріалу, що відбувається за рахунок так званого „внутрішнього тертя”. Т 4 відповідає границі міцності матеріалу

σ_u = F_u/A_o

σ_u – границя міцності матеріалу – найб норм напруга до руйнування.

8. Метод розрахунків в ОМ. Основні види задач ОМ

Статично невизначена задача визначення силового стану конструкції розв’язують розглядаючи 4 сторони задачі:

1 – статична сторона задачі: складають всі можливі рівняння рівноваги.

2 – геометрична сторона задачі: складають додатково до рівнянь рівноваги, так звані рівняння сумісності деформацій розглядаючи здеформований стан конструкції в цілому.

3 – фізична сторона задачі: на основі закону Гука та закону лінійного теплового розширення виражають зусилля через деформацію, або навпаки.

4 – синтез: розв’язують сумісно статичні, фізичні та геометричні р-ня.

9 . Деформація розтягу та стиску: поздовжня сила, напруга, з-н Гука, коеф Пуассона

В поперечному перерізі стрижня виникає нормальна напруга σ, яка рівномірно розподілена в площині цього перерізу, а отже може визначатися за формулою:

σ = N/A [Па] (1)

l₁ – l = ∆l (2) - абсолютне подовження

b₁ – b = ∆b (3) - абсолютне звуження

∆l/ l = ε (4) – відносне подовження

∆b/ b = ε'(5) – відносне звуження

|ε'/ ε| = ν (6) – коеф Пуассона

ν – є фізичною константою даного матеріалу.

Між напругою та деформацією існує фізичний зв’язок за законом Гука

σ = Е*ε (7)

Е – модуль Юнга(модуль пружності)

Е = [Па] – фізична константа матеріалу

Підставимо 1 і 4 в 7 і одержимо

∆l = Nl/EA

EA – жорсткість при розтязі, стиску.

10. Розрахунок на міцність при розтязі, стиску. Врахування власної ваги бруса при розтязі та стиску, брус рівного опору

При великих довжині та густині матеріалу необхідно враховувати вплив власної ваги стрижня на напругу та деформацію. Це стосується таких конструкцій як фундаменти, під будівлі та обладнання, греблі ... Розглянемо стрижень під дією зовн сил і власної ваги. Визначимо нормальну напругу в поперечних перерізах стрижня враховуючи його вагу. За методом перерізів (Q(x) - вага)

N(x) = + F + Q(x) = F + ρgAx

Визначимо напругу в тому ж перерізі:

σ(x) = N(x)/A = F/A + ρgx

Якщо F = 0, то σ(x) = ρgx – напруга лише від власної ваги. Аналізуючи цю формулу зауважимо, що напруга залежить від матеріалу, довжини і не залежить выд площі. Подовження від власної ваги визначають за ф-лою:

∆l = Ql/2EA

∆l = Nl/EA – з-н Гука

О тже подовження від власної ваги є в 2 рази меншим ніж від такої ж за величиною зовнішньої сили. Для заощадження матеріалу при значному впливі власної ваги треба створювати брус рівного опору. Тобто такий, в якому напруга в усіх перерізах однакова і рівна допустимій. Практична реалізація такого стрижня складна, і тому практично реалізовуються ступінчаті стрижні.

11. Статично невизначені стрижневі сис-ми та метод визначення зусиль у таких сис-мах

Статично невизначеними називають сис-ми, силові фактори в елементах яких тільки з рівнянь рівноваги визначити не можна. У таких сис-мах зв’язків більше ніж потрібно для рівноваги.

Статично невизначена задача визначення силового стану конструкції розв’язують розглядаючи 4 сторони задачі:

1 – статична сторона задачі: складають всі можливі рівняння рівноваги.

2 – геометрична сторона задачі: складають додатково до рівнянь рівноваги, так звані рівняння сумісності деформацій розглядаючи здеформований стан конструкції в цілому.

3 – фізична сторона задачі: на основі закону Гука та закону лінійного теплового розширення виражають зусилля через деформацію, або навпаки.

4 – синтез: розв’язують сумісно статичні, фізичні та геометричні р-ня.

12. Основні властивості статично невизначених сис-м. Початкові та температурні зусилля

Основні в-ті стат невизначених сис-м:

◄ Розподілення зусиль між стрижнями статично невизначеної конструкції залежить від відношення жорсткостей цих стрижнів та від геометрії будови самої конструкції.

◄ Більше зусилля виникає в тому стрижні, що має більшу жорсткість.