183814 (Экономико-математические методы и прикладные модели)

МОСКОВСКИЙ КИНОВИДЕОИНСТИТУТ (филиал)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Экономико-математические методы и прикладные модели»

Выполнила студентка 3-го курса

(ускоренный)

Ющак Е.В.

Преподаватель Манцев А.П.

г. Москва, 2002

I. Введение.

Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования – экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.

Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

1. выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;

2. информационную базу данных объекта;

3. выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;

4. выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения – целевой функции.

Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные.

II. Основные понятия моделирования.

2.1. Общие понятия и определение модели.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция – функция многих переменных величин и может иметь свободный член.

Критерии оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям.

2.2. Постановка задач оптимизации

В общем виде задача оптимизации, или задача определения экстремума, ставится следующим образом.

Пусть заданы:

функция f(X), определенная на множестве R^N ;

множество D R^N.

Найти точку Y = (y₁, y₂,..., y_N) D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.

f(X) = extr f(X) и Y D.

Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X – управляемыми переменными, D – допустимым множеством и любой набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y D), - допустимым решением задачи оптимизации.

Понятно, что искомая точка Y, в которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области определения O функции f(X) и допустимого множества D (Y O D). Если множества O и D совпадают со всем пространством R^N (O = D = R^N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R^N (O R^N , D R^N) или множества O и D пересекаются (O D ), то такая задача называется задачей на условный экстремум, в противном случае (O D = ) точка экстремума Y не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.

Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество решений D, а система соотношений, его определяющая,

_j (x_1, х _2, х _N) (=, ) 0, j = 1, 2, … М,

т.е.

D = X: j (X) (=, ) 0, j = 1, 2, ... , M R^N,

или множество D может одновременно задаваться как в явном виде, т.е. допустимое решение Х должно принадлежать некоторой области P R^N, так и системой ограничений.

III. Методы линейного программирования.

3.1. Общая и типовая задача в линейном программировании.

Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача математически записывается так:

U = f(X) max; X W,

Где X = (Х1, Х2,…, Хn);

W – область допустимых значений переменных Х1, Х2,…, Хn;

f(X) – целевая функция.

Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать X() W такое, что f(X()) f(X), при любом X W, или для случая минимизации - что f(X()) ≤ f(X), при любом X W.

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:

• задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;

• задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных Х1, Х2,…, Хn;

• задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.

Задачи линейного программирования.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

f(X) = СjXj max(min);

aij xj = bi, iI, IM = 1, 2,…m;

aij xj bi, iM;

Xj0, jJ, JN = 1, 2,…n.

При этом система линейных уравнений и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критерием оптимальности.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

1) если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;

4) если некоторая переменная Хk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными::

Xk = X`k – Xl, где l – свободный индекс, X`k 0, Xk 0.

3.2. Постановка задачи линейного программирования

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), но n потребителям этих ресурсов.

На автомобильном транспорте часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

• прикрепление потребителей ресурса к производителям;

• привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

• взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;

• отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

• оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями.

Транспортным задачам присущи следующие особенности:

• распределению подлежат однородные ресурсы;

• условия задачи описываются только уравнениями;

• все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

• во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;

• каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом.

3.3. Решение транспортной задачи

Начальное распределение выберем по методу наименьших стоимостей. Порядок заполнения клеток: (3,1), (1,2), (4,3). (2,4), (1,5), (1,4), (3,5), (4,5)

Суммарные затраты: