LINALG8 (Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы))

73

1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Определение 1.26 Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.

Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:

Теорема 1.15 Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.

Доказательство. Пусть - ортогональная матрица -ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в .

Вычислим скалярное произведение -ого столбца на -ый:

,

так как транспонированный -ый столбец есть -ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.

Рассматривая столбцы матрицы как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).

Обратно, пусть и - два ортонорма в -мерном евклидовом пространстве, причем

.

Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):

,

так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима, .

Теорема доказана.

Определение 1.27 Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.

Таким образом, по определению, оператор ортогонален, если в некотором ортонорме он задан ортогональной матрицей:

,

где

.

Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.

В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица ортогональна (теорема 1.15), то

Точно так же доказывается, что

Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:

Утверждение 1.21 Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.

Теорема 1.16 Следующие условия равносильны:

1. - ортогональный оператор,

2. для любых векторов

3. .

Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):

Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица (в произвольном ортонорме) оператора , сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора . Пусть для ненулевого вектора . Тогда , что невозможно. Итак, , т.е. из следует . Это значит, что система имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!) , т.е. матрица обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:

Так как это имеет место для любых векторов , то , а так как матрица обратима, то , и оператор является ортогональным.

Теорема доказана.

Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.

В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.

Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.

Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.

Пусть матрица

ортогональна. Тогда должно выполняться:

Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.

Из первых двух строк получаем:

1 случай: .

При получаем матрицу

,

причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:

(1)

Если же , то поскольку , мы можем положить

для некоторого .

Матрица может быть тогда записана в виде:

(2)

2 случай: .

При получаем снова матрицу вида (1).

При аналогично предыдущему придем к матрице:

(3)

Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.

Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180°).

Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол с последующим отражением одной из осей.

Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица

есть, естественно, матрица поворота на угол .

В частности, если , то матрица

является обратной к себе самой.

1.16. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции

Определение 1.28 Квадратичной формой в евклидовом пространстве называется числовая функция , определенная следующим образом:

,

где - некоторый самосопряженный линейный оператор, действующий в .

Замечание. Мы излагаем этот раздел независимо от разделов 1.12 и 1.13. Читатель же, знакомый с этими разделами, легко поймет, что квадратичная форма есть частный случай симметрической билинейной формы, аргументы которой отождествляются.

Введем теперь в какой-то базис , не обязательно ортонормированный. Поскольку, как легко показать,

,

где - матрица Грама базиса , то

.

Таким образом, при записи квадратичной формы в некотором базисе возникает матрица , называемая матрицей данной квадратичной формы в данном базисе. Эта матрица, как мы видим, равна матрице самосопряженного оператора, определяющего форму, в выбранном базисе, умноженной справа на матрицу Грама данного базиса. Заметим, что, хотя оператор и самосопряженный, его матрица в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе может и не быть симметрической, и поэтому, в общем случае, . Если же выбран ортонормированный базис, то , и , т.е., в ортонормированном базисе матрица квадратичной формы совпадает с матрицей определяющего форму самосопряженного линейного оператора.

По определению, однако, принимается, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

В самом деле, записав квадратичную форму в виде

всегда можно перейти к симметрической матрице , положив

.

Пусть теперь - некий новый базис. Тогда

Следовательно, при переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по закону:

.

Этот закон, названный в п. 1.13 тензорным законом преобразования, совпадает с законом преобразования матриц линейных операторов тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональна и . Таким образом, при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному же базису матрица квадратичной формы преобразуется точно так же, как и матрица определяющего ее самосопряженного оператора. В противном же случае (скажем, при переходе от ортонорма к базису, не являющемуся ортонормом) матрица квадратичной формы уже не будет в новом базисе совпадать с матрицей оператора).

Среди всех базисов, в которых может быть записана квадратичная форма, выделяются такие, в которых матрица формы оказывается диагональной. Если квадратичная форма задана в таком базисе, то говорят, что форма приведена к каноническому виду, а сам базис при этом называют каноническим базисом данной квадратичной формы. Это понятие ни в коем случае не следует путать с понятием канонического базиса арифметического векторного пространства!

Более того, как показывает следующий простой пример, канонический базис совсем не обязан быть ортонормированным.

Рассмотрим такую квадратичную форму (для двумерного случая):

.

Преобразуем ее:

Введем новые переменные

Относительно этих новых переменных наша форма принимает канонический вид:

Соответствующая матрица перехода есть матрица, обратная к и равная .

Если исходную форму считать заданной в ортонорме , то новый базис будет состоять из векторов:

.

Ясно, что канонический базис получился не ортонормированным.

Среди всех канонических базисов квадратичной формы выделяются те, в которых матрица формы принимает вид , где все отличные от нуля числа равны по модулю единице.

Такой канонический базис называется нормальным, а сам вид квадратичной формы в таком базисе - нормальным видом.

Если квадратичная форма приведена к каноническому виду

,

то вводя новые переменные