Содержание

Введение

1. Продольное обтекание тел вращения

2. Поперечное обтекание тел вращения

3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения

4. Применение метода особенностей для расчета продольного и поперечного обтеканий тел вращения

Список источников

Введение

Теоретическая механика, изучая простейшие, механические формы движения и взаимодействия материальных тел, отвлекается от многих их действительных свойств и использует в качестве допустимой абстракции понятия материальной точки и системы материальных точек. Материальная система может быть как дискретной, состоящей из отдельных материальных точек, так и сплошной, представляющей непрерывные распределения вещества и физических характеристик его состояния и движения в пространстве. В этом случае систему называют сплошной материальной средой или, короче, сплошной средой.

Простейшим примером сплошной среды является неизменяемая среда или абсолютно твердое тело. Более общий образ изменяемой сплошной среды объединяет в механике как упругие и пластические, так и жидкие и газообразные тела.

Раздел теоретической механики, занимающийся движениями такого рода изменяемых сред, носит наименование механики сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам, – механики жидкости и газа. Этот термин получил в последнее время широкое распространение, придя на смену ранее употреблявшемуся термину гидромеханика, включавшему в себя как собственно механику жидкости (от греческого «хидрос» – вода), так и механику газов, в частности воздуха. Развитие авиации вызвало особый интерес к вопросам силового взаимодействия воздуха с движущимися в нем телами (теория крыла и винта) и движения тел в воздухе при наличии этих взаимодействий (динамика полета); так появилась аэромеханика. Углубление знаний в области движения сжимаемых жидкостей (газов) привело к возникновению газовой динамики, а применение ее результатов к авиации и ракетной технике положило основание к созданию новой дисциплины – аэротермодинамики, под которой сейчас понимают механику и термодинамику газа, движущегося с большими сверхзвуковыми и гиперзвуковыми скоростями.

Современный этап развития механики жидкости и газа, так же как и вообще механики сплошной среды, характеризуется значительно возросшей вязью с физикой. Требования главным образом ракетной техники поставили перед механикой жидкости и газа новые задачи, определяемые, с одной стороны, гиперзвуковыми (космическими) скоростями движения тел сквозь атмосферу в широком диапазоне высот, с другой – движениями газов в камерах горения и соплах двигателей. В этих условиях приходится иметь дело со сверхвысокими температурами, вызывающими диссоциацию и ионизацию газа, явлениями, связанными с разреженностью атмосферы на больших высотах полета, с разрушением (плавлением и испарением) твердой поверхности обтекаемого газом тела, излучением тепла поверхностью тела и самим газом, с движениями смесей реагирующих между собой газов (например, при горении) и многими другими физическими и химическими процессами. При использовании потоков ионизированного газа (плазмы) для непосредственного превращения тепла в электрическую энергию в магнитогидродинамическом генераторе необходимо рассматривать взаимодействие движущегося газа не только с твердыми телами, но и с электрическими и магнитными полями (магнитная гидродинамика). Все сказанное о газе относится, хотя и в несколько меньшей степени, и к жидкостям. В настоящее время жидкости широко используются как носители тепла в атомной энергетике; процессы тепломассопереноса в жидкостях лежат в основе многих главным образом химических производств, металлургия с успехом применяет магнитную гидродинамику для управления потоками жидких металлов в процессах плавки и др.

Вот почему предмет механики жидкости и газа сейчас уже нельзя сводить к одному механическому движению жидкости и газа и механическому взаимодействию их с твердыми телами. Механические движения сопровождаются общими движениями материи – сложными физическими процессами, которыми не только нельзя пренебрегать, как это делалось ранее, а наоборот, следует иметь в виду, что эти процессы во многих практических задачах играют главную роль, оставляя механическим движениям вспомогательное, подчиненное значение.

Кроме уже упомянутого ранее основного свойства принятой модели жидкой и газообразной среды – ее сплошности (непрерывности распределения массы и физико-механических характеристик среды), для динамики существенно второе основное свойство жидкой или газообразной среды – ее легкая подвижность, или текучесть, – выражающееся в том, что для большинства жидкостей и всех газов касательные напряжения (внутреннее трение) в среде отличны от нуля только при наличии относительного движения сдвига между слоями среды. При относительном покое внутреннее трение отсутствует. В этом заключается отличие жидкой или газообразной среды, например, от упругой среды, в которой касательные напряжения, обусловленные наличием деформаций (а не скоростей деформаций) сдвига, отличны от нуля и при относительном покое среды.

Обладая общими свойствами непрерывности и легкой подвижности, жидкости и газы отличаются друг от друга по физическим свойствам, связанным с различием во внутренней их молекулярной структуре.

Предполагая отсутствие внутреннего трения и процессов переноса, приходят к модели идеальной жидкости, которая оказывается пригодной для описания многих важных сторон явлений обтекания тел, но по самой своей сущности не может, например, объяснить происхождения сопротивления тел, разогревания жидкостей и газов за счет диссипации механической энергии в тепло, тепломассопереноса в жидкости и др. Для описания этих явлений необходимо пользоваться более сложной моделью вязкой, проводящей тепло и обладающей способностью переноса примесей (диффузии) жидкости или газа.

1. Продольное обтекание тел вращения

Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения (см. Приложение 1) возьмем в меридианальных плоскостях (r, x) эллиптическую систему координат (, ), связанную с (r, x) соотношениями

х = с ch cos , 0 ,

r = с sh sin , 0 2,

где величина c представляет расстояние фокусов семейства координатных линий – сoфокусных эллипсов и гипербол – от начала координат.

Положим

ch = , cos = , l , -1 1;

тогда связь между координатами (r, x) и (, ) будет иметь вид

х = с, r = с ² – 1 1 – ². (1)

Определив производные

найдем коэффициенты Ламе¹

(2)

После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное уравнение Лапласа для потенциала скоростей. Согласно формуле²

(*)

получим (3)

Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций от переменных и в отдельности

= L() M(); (4)

тогда в уравнении (2) переменные разделятся и из равенства

в силу независимости и будет следовать, что каждая из частей равенства должна быть постоянной. Полагая эту постоянную равной n (n+1), где n – целое положительное число, получим для определения L() и М() два обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа

(5)

Этим уравнениям удовлетворяют³ два класса независимых решений:

1. функции Лежандра 1-го рода – полиномы Лежандра P_n (х), определяемые равенствами

P₀(x) = 1, Р₁(х) = х, P₂(x) = 0.5 (Зх²-1), P₃(x) = 0.5 (5x³-3x),…

и рекуррентным соотношением для вычисления последующих полиномов

(n + 1) P_{n +1}(х) = (2n + 1) хР_n(х) – nР_n-1(х);

2) функции Лежандра 2-го рода Q_n(х), определяемые равенствами

и рекуррентным соотношением

(n + 1) Q_n+1(х) = (2n + 1) xQ_n(х) – nQ_n-1(х),

совпадающим с предыдущим соотношением для полиномов Лежандра.

Представим решение уравнения (3) как сумму двух потенциалов: 1) потенциала однородного потока, набегающего на тело со скоростью U; этот потенциал по первой из формул (1) будет равен = Ux = Uc. и 2) потенциала ' скоростей возмущений, который выразим суммой частных решений (4).

Функция P_n(х), как полином n-й степени, обращается в бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Q_n(х) при этом стремится к нулю, но зато логарифмически бесконечна при х = ± 1. В случае внешнего обтекания тела координата = ch может достигать бесконечных значений, а координата ограничена. Примем во внимание, что потенциал скоростей возмущенного движения (т.е. обтекания за вычетом однородного потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, причем .

Из приведенных соображений следует, что искомые частные решения должны иметь вид произведений Q_n() P_n() (n = 1, 2,…);

подчеркнем, отсчет n при суммировании начинается с единицы, а не с нуля. Это подтверждается наличием следующих очевидных асимптотических равенств, справедливых при больших значениях , а, следовательно, согласно (1), и R = = х² + r², имеющего тот же порядок, что и :

Таким образом, будем иметь правильный порядок убывания ' на бесконечности, если положим

, (6)

где A_n - постоянные коэффициенты, зависящие от формы поверхности тела.

Складывая потенциалы и ', получим искомый потенциал скоростей продольного обтекания тела вращения со скоростью на бесконечности, равной U,

(7)

Для определения коэффициентов A_n найдем выражение функции тока . По формуле (2) будем иметь

или после подстановки разложения (7)

Переписывая второе равенство в виде

подставим под знак суммы выражение для P_n из основного дифференциального уравнения функций Лежандра (5)

Тогда будем иметь

Интегрируя по и добавляя необходимую функцию от , получим окончательное выражение для функции тока

(8)

Уравнение нулевой поверхности тока будет

(9)

Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения в эллиптических координатах, можно определить величины коэффициентов А_n, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и является наиболее сложным с вычислительной стороны.

Имея выражение потенциала скоростей, найдем скорость по формуле (10).

2. Поперечное обтекание тел вращения

Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом.

В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ортогональной системе криволинейных координат, согласно (*), иметь вид