86340 (Некоторые линейные операторы)

Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение

Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)= .

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f^/(x), в пространстве дифференцируемых функции D_{[a, b]}. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть E_x и E_y ¹– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа выполняются следующие равенства ²:

1. А(х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;

2. А( х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е₁ – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D_[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:

Дf(x) = f^/(x).

Где f(x) D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]}.

Оператор Д определен не на всем пространстве C_{[a, b]}, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С_{[- , + ]} – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение ₁, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть , – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е Е₁ называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность x_n x₀, А(x_n) сходится к А(x₀). То есть, при p (x_n, x₀) 0, p (А(x_n), А(x₀)) 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестность³ U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V) U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) < , p (f(x), f(x₀)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_nх₁, тогда х_n–х₁0, отсюда А(х_n–х₁)А(0)=0, т. е. А(х_n–х₁)0.

Так как А – это линейный оператор, то А(х_n–х₁)Ах_n–Ах₀, а тогда

Ах_n-Ах₀ 0, или Ах_nАх₀.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

p (y_n, y) = |y_n(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(y_n) = y_n(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(y_n), F(y)) = |F(y_n) - F(y))| = | y_n(1) - y(1)| |y_n(x)- y(x))|=p(y_n,y),

то есть p (F(y_n), F(y)) 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Е₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n S, то выполняется неравенство: |А(x)| k_n||x||, (x E). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)| k||x||, где (x E), (k S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||⁴.

||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где

||А|| = x E.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .

Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< , то ||Аx|| K||x|| < K =

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где

||y_n|| = .

Следовательно последовательность y_n 0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако

||Аy_n || = ||A || = ||Ax_n || > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с Аy_n 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала⁵ F(y) = в C_{[a, b]}, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = | |.

| | | | = | y(x)|| | |y(x)|| |;

||F|| = ( |y(x)|| |) = ||y(x)||| | = | | .

Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| = = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть , – нормированные пространства, – линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.