86276 (Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп)

Дипломна робота

"Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп"

Зміст

Перелік умовних позначок

Введення

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

2. - довжина - розв'язної групи

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

4. Використовувані результати

Висновок

Список використаних джерел

Перелік умовних позначок

Розглядаються тільки кінцеві групи. Використовуються наступні позначення.

- прості числа.

- знак включення множин;

- знак строгого включення;

і - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

- порожня множина;

- множина всіх для яких виконується умова ;

- число порівнянне із числом по модулі .

- множина всіх простих чисел;

- деяка множина простих чисел, тобто ;

- доповнення до у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

примарне число - будь-яке число виду , ;

- множина всіх цілих позитивних чисел.

- одинична група;

- одинична матриця розмірності ;

- повна лінійна група ступеня над полем з елементів, тобто група всіх не вироджених лінійних перетворень - мірного лінійного простору над полем з елементів;

) - спеціальна лінійна група ступеня над полем з елементів.

) - проективна спеціальна лінійна група ступеня над полем з елементів, тобто факторгрупа спеціальної лінійної групи по її центрі

- кінцеве поле порядку .

Нехай - група. Тоді:

- порядок групи ;

- порядок елемента групи ;

- одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

- також одинична підгрупа групи ;

- множина всіх простих дільників порядку групи ;

- множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

- група - група , для якої ;

- група - група , для якої ;

Група називається:

примарною, якщо ;

бипримарною, якщо .

- підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп групи ;

- підгрупа Фиттинга групи , тобто добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи ;

- комутант групи , тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

- найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

- найбільша нормальна підгрупа непарного порядку групи ;

- найбільша нормальна - підгрупа групи ;

- - холовська підгрупа групи ;

- силовська - підгрупа групи ;

- доповнення до силовської - підгрупи в групі , тобто -холовська підгрупа групи ;

- група всіх автоморфизмов групи ;

- головний ранг групи ;

- - головний ранг групи ;

- є максимальною підгрупою групи ;

Нехай - максимальний ланцюг підгруп, тобто для всіх . Якщо розв'язно, то всі індекси максимального ланцюга примарні, тобто . Тоді:

.

При введенні позначень і розглядаються всі максимальні ланцюги.

- - довжина групи ;

- нильпотентна довжина групи ;

- похідна довжина групи ;

- є підгрупою групи ;

- є власною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - неодинична власна підгрупа;

- є нормальною підгрупою групи ;

- є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

- є субнормальною підгрупою групи ;

- підгрупа характеристична в групі , тобто для будь-якого автоморфізму ;

- індекс підгрупи в групі ;

;

- ядро підгрупи в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з в ;

- підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою з елементами з , тобто ;

- централізатор підгрупи в групі ;

- нормалізатор підгрупи в групі ;

- центр групи ;

- циклічна група порядку ;

- симетрична група ступеня ;

- знакозмінна група ступеня .

Якщо й - підгрупи групи , то:

- прямий добуток підгруп і ;

- напівпрямий добуток нормальної підгрупи й підгрупи ;

- і ізоморфні.

Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

- підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо й нормальні в.

Ряд підгруп називається:

субнормальним, якщо для кожного ;

нормальним, якщо для кожного ;

головним, якщо для всіх .

Введення

Відомо, що кінцеві розв'язні групи можна охарактеризувати як кінцеві групи, у яких доповнені всі силовські підгрупи. Ця теорема Ф. Холу [12] з'явилася джерелом розвитку одного з напрямків теорії груп, що складає в дослідженні будови груп з виділеними системами підгруп, що доповнюються. Як відзначає у своїй монографії С.Н. Черников [10,с.11]: "Вивчення груп з досить широкою системою підгруп, що доповнюються, збагатило теорію груп багатьма важливими результатами". До теперішнього часу виділені й повністю вивчені багато нових класів груп. При цьому намітилася тенденція до узагальнень як самого поняття доповнюється по способу виділення системи підгруп, що доповнюються. Системи підгруп, що доповнюються, виділялися, наприклад, за допомогою таких понять як примарність, абелевість, циклічність, нормальність і інші властивості кінцевих груп і їхніх комбінацій, а замість доповнюваності розглядалися - доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне) , - щільність (якщо для будь-яких двох підгруп підгруп групи , з яких перша не максимальна в другий, в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].

Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].

Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.

У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

Робота складається із трьох глав.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга.

Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через .

Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через .

На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна

Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Також розглядається доказ теореми К. Дерка.

Теорема B. Якщо - максимальна підгрупа розв'язної групи , те , де .

Доведено теорему Монахова В.С.

Визначення. Підгрупа групи називається максимальною підгрупою, якщо не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від .

Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи позначається через .

Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

У другому розділі " - довжина - розв'язної групи" дані наступні визначення. Визначення. Нехай - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона - розв'язна для всіх простих . Ясно, що група -розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою.

Визначення. Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, . -довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду