Билет №19-2 (Ответы на экзамен 2)
Описание файла
Файл "Билет №19-2" внутри архива находится в папке "otvety_v2". Документ из архива "Ответы на экзамен 2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "материалы и элементы электронной техники" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "материалы и элементы электронный техники" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Билет №19-2"
Текст из документа "Билет №19-2"
Билет №19-2
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Ч тобы провести более общее обсуждение теплоемкости, заметим прежде всего, что в пределе большого кристалла набор дискретных векторов, по которому ведется суммирование в выражении (23.12), становится плотным в масштабе тех характерных расстояний в k-пространстве, на которых слагаемые в (23.12) испытывают существенные изменения. Поэтому мы можем заменить сумму интегралом, поступая согласно общему правилу (2.29) для произвольного набора волновых векторов, удовлетворяющих граничным условиям Борна — Кармана, и записать выражение (23.12) в виде
(23.15)
причем интегрировать следует по первой зоне Бриллюэна. С учетом упрощений при очень низких температурах выражение (23.15) принимает вид
где интеграл берется по всему k-пространству.
Фиг. 23.1. Упрощения, используемые для расчета низкотемпературной удельной теплоемкости гармонического кристалла.
а — типичные кривые дисперсии нормальных мод двухатомного кристалла вдоль некоторого направления в k-пространстве (имеющего достаточно высокую симметрию, поскольку две акустические и две оптические моды вырождены).
б — спектр, заменяющий кривые, приведенные на фиг.а, при расчете интеграла (23,15). Акустические ветви заменяются прямыми, неограниченно продолжающимися в область произвольно больших значений k (т. е. интегрирование по первой зоне Бриллюэна заменяется интегрированием по всему k-пространству); оптическими ветвями при этом пренебрегают. Такие упрощения оправданы, поскольку большие по сравнению с kв T/ħ частоты (части дисперсионных кривых на фиг. а и б, лежащие выше горизонтальной штриховой линии) вносят пренебрежимо малый вклад в интеграл (23.15), а части дисперсионных кривых, отвечающие модам, которые действительно вносят вклад в величину (23.15) (участки кривых ниже горизонтальной штриховой линии), на фиг. а и б совпадают. Квантовая теория гармонического кристалла 85
……………….. при очень низких температурах имеем
Для справедливости формулы (23.20) необходимо, чтобы величина kвT/ħ была мала по сравнению со всеми частотами фононов, не лежащими на линейном участке спектра; отсюда следует, что величина kвT/ħ должна составлять малую долю характерной частоты на границах зоны. Для выполнения подобного условия температура Т должна быть значительно ниже комнатной. Так как при уменьшении температуры ниже комнатной закон Дюлонга и Пти начинает нарушаться, существует достаточно широкая область температур, в которой не применимы ни низкотемпературный, ни высокотемпературный расчеты, а следует использовать общую формулу (23.15). На практике, однако, в этой промежуточной области температур часто используют интерполяционные методы.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ. МОДЕЛИ ДЕБАЯ И ЭЙНШТЕЙНА
В самых первых квантовых расчетах теплоемкости решетки, проведенных Эйнштейном и Дебаем, не использовался спектр фононов в его общем виде, рассмотренном выше, а предполагалось, что закон дисперсии нормальных мод имеет некоторую особенно простую форму. Результаты этих расчетов, построенных на грубой аппроксимации закона дисперсии нормальных мод', используются теперь в качестве интерполяционных формул. Кроме того, теория Дебая оказала значительное влияние на принятую терминологию и определила даже способ представления экспериментальных данных.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ СХЕМА ДЕБАЯ
В модели Дебая все ветви колебательного спектра заменяются тремя ветвями с одним и тем же линейным законом дисперсии 3)
ω = ck. (23.21)
Кроме того, в формуле (23.15) вместо интеграла по первой зоне Бриллюэна берется интеграл по сфере радиусом kD , выбираемым так, чтобы эта сфера содержала ровно N разрешенных волновых векторов, где N — число ионов в кристалле. Поскольку объем k-пространства, приходящийся на один волновой вектор, равен (2π)3/V (см. т. 1, стр. 50), это означает, что величина (2π) 3 N/V должна равняться 4π kD3 /3 и, следовательно, kD определяется соотношением1)
После этих упрощений формула (23.15) приобретает вид
При вычислении интеграла в (23.23) удобно определить дебаевскую частоту
(23.24)
и дебаевскую температур
kBθD = ħωD = ħckD (3.25)
Легко видеть, что 1/kD характеризует среднее расстояние между частицами в кристалле, частота ωD имеет порядок максимальной частоты фононов, а θD представляет собой характерную температуру; выше нее возбуждены все моды, а ниже некоторые моды начинают «вымерзать»
2).Произведем замену переменных ħck/kBT = х; тогда в формулу (23.23) будет входить лиш дебаевская температура:
(23.26)
Эта формула выражает удельную теплоемкость при всех температурах через один эмпирический параметр θD. Разумный способ выбора θD (хотя и далеко не единственный из используемых) — потребовать, чтобы выражение (23.26) согласовывалось с наблюдаемой удельной теплоемкостью при низких температурах. Это будет обеспечено (по крайней мере в гармоническом приближении), если связь скорости с в формулах (23.21) или (23.25) с точным фоношшм спектром описывается формулой (23.18). Получающееся выражение для низкотемпературной теплоемкости таково :
a) Температуры Дебая определялись путем подгонки наблюдаемых удельных теплоемкостей Cv к формуле Дебая (23.26) в точке, где Cv = 3nkB/2. Данные взяты из статьи де Лоне [3].
Таким образом
Фиг. 23.3. Зависимость удельной теплоемкости в дебаевском приближении от T/θD. ( из работы [3].)
дебаевская температура играет в теории колебаний решетки такую же роль, какую температура Ферми играет в теории электронов в металлах: обе они представляют собой характерные температуры, отделяющие низкотемпературную область, где нужно пользоваться квантовой статистикой, от высокотемпературной области, где справедлива классическая статистическая механика. Однако в случае электронов реальные температуры всегда гораздо ниже ТF ,. тогда как дебаевская температура θD (см. табл. 23.3) обычно порядка 102 К поэтому нам могут встретиться как квантовый, так и классический режимы.
Краткое объяснение температуры Дебая.
ДЕБАЯ ТЕОРИЯ твёрдого тела — теория, описывающая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представлении твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания в конечном диапазоне частот.
Кристаллич. решётка, состоящая из N элементарных ячеек по v атомов в каждой, имеет 3Nv—6 ≈ 3Nv колебат. степеней свободы. С механич. точки зрения, такую систему можно описывать как совокупность 3Nv независимых осцилляторов, каждый из к-рых со-
ДЕБЯ ЗАКОН ТЕПЛОЁМКОСТИ — теоретически выведенная П. Дебаем в 1912 ф-ла, согласно к-рой теплоёмкость С твёрдого тела при низких темп-pax Т пропорц. кубу темп-ры:
C = 2/5 π2 kV (kT/ ћ c) 3 ( 1 )
где V — объём, с — ср. скорость звука. При низких темп-pax можно не делать различия между теплоёмкостью при пост, объёме Cv и пост, давлении Ср, поскольку в данному случае Ср
Для всех твёрдых тел при T~0 теплоёмкость решётки удовлетворительно описывается ф-лой ( 1 ). Это связано с тем, что при низких темп-pax дебаевское приближение (см. Дебая теория) соответствует характеру колебат. спектра твёрдого тела: существованию трёх акустич. ветвей колебаний Различие проявляется вблизи температурных границ Тгр применимости теории Дебая. Для простых кристаллич. решёток (элементы и простые соединения) порядка неск. десятков К. Для более сложных решёток, а также для анизотропных структур (например, квазидвумерных и квазиодномерных) существенно ниже
При сравнении эксперим. результатов с Д. з. т. имеется в виду только теплоёмкость решётки и исключается её электронная и др. составляющие (см. Теплоёмкость).
Лит. см. при ст. Дебая теория.
ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА — характеристич. темп-ра твёрдого тела, вводимая соотношением:
kTθ = ћωD ( 2 )
где ωD — макс, частота колебаний кристаллич. решётки, определяемая из условий равенства числа колебаний, приходящихся на частотный интервал от 0 до ωD, полному числу колебат. степеней свободы решётки (см. Дебая теория).