хз-1 (Пример первого типового расчёта)

Задание:

1. Написать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и э.д.с. во всех ветвях.

2. Определить неизвестные токи и э.д.с. во всех ветвях методом контурных токов и методом узловых потенциалов.

3. Составить баланс мощности.

4. Определить напряжения, измеряемые вольтметрами.

5. Методом эквивалентного источника найти величину и направление э.д.с., которую надо дополнительно включить во вторую ветвь (где r₂ и Е₂), чтобы ток в ней увеличился в два раза и изменил свое направление.

6. Определить входную проводимость второй ветви и взаимную проводимость ветвей второй и третьей (где r₂ и Е₂).

7. Найти уравнения, выражающие зависимость тока в третьей ветви от сопротивления второй ветви при неизменных э.д.с. схемы и неизменном протекающем к ней токе источника.

r₁ = 6 Ом

r₂ = 4 Ом

r₃ = 5 Ом

r₄ = 4 Ом

r₅ = 5 Ом

r₆ = 8 Ом

r₇ = 3 Ом

r₈ = 2 Ом

Е­₁ – ?

Е­₂ = 40 В

Е­₃ = 30 В

Е­₄ = 20 В

Е­₅ = 50 В

Е­₆ = 20 В

J = 4 A

I­₁ = 2 A

1

I₇

.

I₃

I₄

I₅

I₂

E₂

У = 5, В = 7

Выбираем положительное направление тока.

Уравнения по I-у закону Кирхгофа:

У₂ : I₁ – I₄ – I₇ = 0 (1)

У₃ : I₄ + I₃ – I₂ = 0 (2)

У₄ : I₇ – I₃ + I₅ – J = 0 (3)

У₅ : J – I₈ – I₅ = 0 (4)

B – ( J – 1) = 7 – (5-1) = 3 (по II-у закону Кирхгофа)

Контур I-I : – I₁∙ r₁ – I₄∙ r₄ – I₂ ∙ r₂ = – E₁ – E₄ – E₂ (5)

Контур II-II : I₄∙ r₄ – I₇ ∙ r₇ – I₃ ∙ r₃ = E₄ – E₃ (6)

Контур III-III : I₂ ∙ r₂ + I₃ ∙ r₃ + I₅ ∙ r₅ – I₈ ∙ r₈ = – E₁ – E₄ – E₂ (7)

2. Определим неизвестные токи и э.д.с. во всех ветвях методом контурных токов

В =7, У = 5, В – (У – 1) = 7 – (5 – 1) = 3

Составим три уравнения по методу контурных токов.

А) Замкнем путь источника тока от узла 4 до узла 5.

Рис. 2

В схеме рис.2 ветвь 5 стала нереальной.

Выбираем контурные токи и обозначим их как I₁₁, I₂₂, I₃₃

Составим уравнения связи:

I­₁ = – I₁₁ = 2 A (по условию)

I₂ = – I₁₁ + I₃₃

I₃ = I₃₃ – I₂₂

I₄ = – I₁₁ + I₂₂

I₅ = I₃₃ + J

I₇ = – I₂₂

I₈ = – I₃₃

Составим уравнения по методу контурных токов (МКТ):

Контур I-I : I­₁₁ ∙ ( r_1­ + r₂ + r­₄) – I­₃₃ ∙ r_{2 ­} – I­₂₂ ∙ r_{4 ­} = – E₁ + E­₄ – E₂ (1)

Контур II-II : I­₂₂ ∙ ( r_3­ + r₄ + r₇) – I­₁₁ ∙ r_{4 ­} – I­₃₃ ∙ r_{3 ­} = E­₄ + E₃ (2)

Контур III-III : I­₃₃ ∙ ( r_2­ + r₃ + r­₅ + r₈) – I­₂₂ ∙ r_{3 ­} – I­₁₁ ∙ r_{2 ­} = E₂ – E­₃ – E₅ – E_5Э (3)

I₁₁ = – 2 A

E₁ + I₁₁ ∙ (6+4+4) – I₂₂ ∙ 4 +I₃₃ ∙ 4 = – 40 – 20

– I­₁₁∙ 4 + I₂₂∙ (5+4+3) – I₃₃ ∙ 5 = 20 + 30

– I₁₁ ∙ 4 – I₂₂ ∙ 5 + I₃₃ ∙ (4+5+5+2) = 40 – 30 – 50 – 4 ∙ 5

1∙ E₁ – 4 ∙ I₂₂ – 4 ∙ I₃₃ = –32

0∙ E₁ + 12 ∙ I₂₂ – 5 ∙ I₃₃ = 42

0∙ E₁ – 5 ∙ I₂₂ + 16 ∙ I₃₃ = –68

Воспользуемся прикладной программой MathCad 2001 Rus для решения системы уравнений:

E₁ = -38.563 B

I₂₂ = 1.988 A

I₃₃ = -3.629 A

По уравнениям связи:

I­₁ = – I₁₁ = 2 A

I₂ = – I₁₁ + I₃₃ = 2 + (-3.629) = -1.629 A

I₃ = I₃₃ – I₂₂ = -3.629 – 1.988 = -5.617 A

I₄ = – I₁₁ + I₂₂ = 2 + 1.988 = 3.988 A

I₅ = I₃₃ + J = -3.629 + 4 =0.371 A

I₇ = – I₂₂ = -1.988 A

I₈ = – I₃₃ = 3.629 A

Б) Метод узловых потенциалов:

Используем схему рис.1. За нулевой потенциал обозначим φ₁ : φ₁ = 0.

Выбираем узел 1 за базовый. Составим уравнения для остальных 4-х узлов:

У₂ : φ₂ ∙ (g₁ + g₄ + g₇) – φ₄ ∙ g₇ – φ₃ ∙ g₄ – φ₁ ∙ g₁ = E₄ ∙ g₄ – E₁ ∙ g₁

У₃ : φ₃ ∙ (g₂ + g₃ + g₄) – φ₂ ∙ g₄ – φ₄ ∙ g₃ – φ₁ ∙ g₂ = E₃ ∙ g₃ – E₄ ∙ g₄ + E₂ ∙ g₂

У₄ : φ₄ ∙ (g₃ + g₅ + g₇) – φ₂ ∙ g₇ – φ₃ ∙ g₃ – φ₅ ∙ g₅ = E₅ ∙ g₅ – E₃ ∙ g₃ + J

У₅ : φ₅ ∙ (g₅ + g₈) – φ₄ ∙ g₅ – φ₁ ∙ g₈ = – E₅ ∙ g₅ – J

где I₁ = (φ₂ – φ₁ + E₁) ∙ g₁ → E₁ = 12 – φ₂

( ) φ₂ – φ₄ – φ₃ + E₁ = 20 ∙ (1)

( ) φ₃ – φ₂ – φ₄ = 30 ∙ – 20 + 40 ∙ (2)

( ) φ₄ – φ₂ – φ₃ – φ₅ = 50 ∙ - 30 ∙ + 4 (3)

( ) φ₅ – φ₄ = – 50 ∙ - 4 (4)

E₁ = 12 – φ₂

Воспользуемся прикладной программой MathCad 2001 Rus для решения системы уравнений:

φ₂ = 50.563 B

φ₃ = 46.515 B

φ₄ = 44.599 B

φ₅ = -7.257 B

E₁ = 12 – φ₂ = 12 – 50.563 = -38.563 B

I₄ = (φ₃ – φ₂ + E₄) ∙ g₄ = (46.515 -50.563+20) ∙ = 3.988 A

I₃ = (φ₃ – φ₄ - E₃) ∙ g₃ = (46.515-44.599-30) ∙ = -5.617 A

I₂ = (φ₁ – φ₃ + E₂) ∙ g₂ = (-46.515+40) ∙ = -1.629 A

I₇ = (φ₄ – φ₂) ∙ g₇ = (44.599-50.563) ∙ = -1.988 A

I₅ = (φ₄ – φ₅ - E₅) ∙ g₅ = (44.599+7.257-50) ∙ = 0.371 A

I₈ = (φ₁ – φ₅) ∙ g₈ = 7.257 ∙ = 3.629 A

3. Баланс мощностей:

∑Р_ист = ∑Р_потр

∑Р_ист = E₁ ∙ I₁ + E₂ ∙ I₂ – E₃ ∙ I₃ + E₄ ∙ I₄ – E₅ ∙ I₅ + (φ₄ – φ₅) ∙ J = 2 ∙ (-38.563) + 40 ∙ (-1.629) – –– 30 ∙ (-5.617) +20 ∙ 3.988 – 50 ∙ 0.371 + 51.856 ∙ 4 = 294.858 Вт

∑Р_потр = I₁² ∙ r₁ + I₂² ∙ r₂ + I₃² ∙ r₃ + I₄² ∙ r₄ + I₅² ∙ r₅ + I₇² ∙ r₇ + I₈² ∙ r₈ = 24 + (-1.629)² ∙ 4 +

+ (-5.617)² ∙ 5 +(3.988)² ∙ 4 +(0.371)² ∙ 5 +(-1.988)² ∙ 3 +(3.629)² ∙ 2 = 294.868 Вт

4. Найдем напряжения на вольтметрах:

φ_b = φ_a т.к. точки заземлены

Найдем φ_а = φ₁ – E₁ – I₆ ∙ r₆ = - E₆ = -20 B

U₁ = |φ₅ – φ_b| = |φ₅ – φ_a| = |φ₅ – E₆| = |-7.257+20| =12.743 B

U₂ = |φ₄ – φ₁| = φ₄ = 44.599 B

5. Метод эквивалентного источника.

Для того чтобы применить метод эквивалентного источника надо:

– Найти напряжение холостого хода U_31Х

– r_ВХ – входное сопротивление

Рис.3 Упрощенная схема

Н аходим r_31ВХ :

Рис.4

Рис.5

Рис. 4 – схема, состоящая из сопротивлений всех ветвей. Для упрощения схемы рис.4 сделаем преобразование из треугольника сопротивлений в звезду

r₇, r₄, r₃ → r₁^| , r₂^| , r₃^|

r₁^| = = = 1 Ом

r₂^| = = = 1.667 Ом

r₃^| = = = 1.25 Ом

r_31ВХ = r₂^| + = 1.667 + = 5.454 Ом

Найдем U_­31Х :

U_­31Х = φ₃ – φ₁

U_­31Х найдем с помощью МУП:

Пусть φ₁=0

У₂ : φ₂ ∙ (g₁ + g₄ + g₇) – φ₄ ∙ g₇ – φ₃ ∙ g₄ = E₄ ∙ g₄ – E₁ ∙ g₁

У₃ : φ₃ ∙ (g₃ + g₄) – φ₂ ∙ g₄ – φ₄ ∙ g₃ = E₃ ∙ g₃ – E₄ ∙ g₄

У₄ : φ₄ ∙ (g₃ + g₅ + g₇) – φ₂ ∙ g₇ – φ₃ ∙ g₃ – φ₅ ∙ g₅ = E₅ ∙ g₅ – E₃ ∙ g₃ + J

У₅ : φ₅ ∙ (g₅ + g₈) – φ₄ ∙ g₅ = – E₅ ∙ g₅ – J

( ) φ₂ – φ₄ – φ₃ + E₁ = 20 ∙ (1)

( ) φ₃ – φ₂ – φ₄ = 30 ∙ – 20 + 40 ∙ (2)

( ) φ₄ – φ₂ – φ₃ – φ₅ = 50 ∙ - 30 ∙ + 4 (3)

( ) φ₅ – φ₄ = – 50 ∙ - 4 (4)

Воспользуемся прикладной программой MathCad 2001 Rus для решения системы уравнений:

φ₂ = 50.563 B

φ₃ = 46.515 B

φ₄ = 44.599 B

φ₅ = -7.257 B

U_31X = φ₃ – φ₁ = φ₃ = 46,515 В

Заменим всю остальную схему по отношению ко 2-й ветви источником э.д.с. Е_Э = |U_31X| и сопротивлением r_ВХ :

Рис. 6

-2I₂ ∙ (r₂ + r_31BX) = E_ЭКВ - U_31Х

E_ЭКВ = -2I₂ ∙ (r₂ + r_31BX) + U_31Х = -2 ∙ (-1.629) ∙ (4+5.454) + 46,515 = 77,316 В

E_ДОП = E _ЭКВ – Е₂ = 77,316 – 40 = 37,316

6. Найти g₂₂ и g₂₃

1. g

   r₇

   ₂₂ =

r₂^|

r₄

r₃

2

4

3

r₁^|

r₃^|

3

r₅

r₂

r₂

2

4

E₂

E₂

r₈

r₁

r₈

r₁

1

1

Рис. 7 Рис.8

Рис.7 – схема для определения проводимости g₂₂. Схему рис.7 упрощаем заменой треугольника сопротивлений в звезду (рис.8).

r₇, r₄, r₃ → r₁^| , r₂^| , r₃^|

r_Э = r₂ + r₂^| + = 4 + 1.667 + = 7.887 Ом

I₂ = = = 5.072 A

g₂₂ = = = 0.127 Cм

r₃₄

б

r₇

r₃

E₃

3

4

) g₂₃ =

E₃

Рис. 9 Рис.10

Рис.9 – схема для определения взаимной проводимости g₂₃. Для упрощения применим преобразования из звезды сопротивлений в треугольник.

r₇, r₄, r₁ → r₃₄ , r₃₁, r₁₄

r₃₁ = r₄ + r₁ + = 4 + 6 + = 18 Ом

r₃₄ = r₇ + r₄ + = 3 + 4 + = 9 Ом

r₁₄ = r₇ + r₁ + = 3 + 6 + = 13,5 Ом

r_Э = = = 4,199 Ом

I₃ = = = 7,145 A

U_r3 = r₃ ∙ I₃ = 5 ∙ 7.145 = 35.723 B → U₃₄ = E₃ – U_r3 = 30 – 35.723 = -5.723 B

I₃₄ = = = -0.727 A

U₃₁ = U₃₄ – U₁₄ = U₃₄ – I_r2r31r14r8r5 ∙ = -5.273 + 0.727 ∙ = -1.922 B

I₂ = = = -0.48 A

g₂₃ = = = -0.016 Cм

7. Найдем зависимость тока в третьей ветви от сопротивления второй ветви при неизменных э.д.с. схемы

I₃ = f(r₂)

I₃(I₂) = a + b∙I₂

1. Номинальный режим

-5,617 = a + b∙(-1.629)

2) Режим холостого хода ветви 2 :

I₃ = = = 4.167 A

Решаем систему уравнений:

-5.617 = a +b∙(-1.629)

4.167 = a + b∙0

a = 4.167

b = 6.006

I₃ = 4.167 + 6.006∙I₂

I₂ = = =

I₃ = 4.167 + 6.006∙ = 4.167 +