054195_28107_d20_variant_25 (Применение уравнений Лагранжа II рода к определению сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора)

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Artair

Курсовая № Д20:

Применение уравнений Лагранжа II рода к определению

сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора.

Выполнил студент

Группы ПГС 07-4

Разроев Виктор Игоревич

Иркутск 2008

25 вариант

Дано: m₁=2,5 кг, m₂=3 кг, J₁= 1 кг*м², l=0,8 м, τ=0,5 c, φ(0)=0 рад, φ(τ)=π/3 рад . Программное

движение звена 1: φ(t)= φ(0)+[ φ(τ)- φ(0)](10-15t/τ+6t²/τ²) t³/τ³. Центр тяжести звена 1 находится в точке С.

Требуется:

1.) Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале торможения звена 1.

С читать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.

2.) Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.

Решение:

Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II рода. Очевидно, что система имеет две степени свободы, поэтому примем за обобщенные координаты угол поворота звена 1 и смещение звена 2.

Для рассматриваемой системы можно записать:

Эти равенства играют роль уравнений связей.

В соответствии с выбранными обобщенными координатами уравнения Лагранжа примут вид:

Составим выражение для кинетической энергии системы Т как функцию обобщенных скоростей и и обобщенных координат и . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии Т₁ звена 1 и Т₂ звена 2.

Кинетическая энергия звена 1, совершающего плоское движение:

Кинетическая энергия звена 2, совершающего поступательное движение:

Продифференцируем выведенные ранее уравнения связи по времени:

откуда

Таким образом:

Найдем значения слагаемых уравнений Лагранжа:

Определим обобщенные силы Q_x и Q_φ.

Для определения Q_x мысленно наложим на систему связь φ=const и сообщив системе возможную скорость , вычислим возможную мощность сил, действующих на неё:

Аналогично, мысленно наложим на систему связь x=const и сообщив системе возможную скорость , получим выражение возможной мощности N_φ:

Подставим полученные выражения в составленную в начале систему уравнений Лагранжа:

Так как захват D должен двигаться по прямой ON перпендикулярной оси x, на механизм накладывается дополнительная связь:

следовательно,

Подставляем полученные выражения в систему:

Вычислим M и P в момент торможения звена 1.

В этот момент угловое ускорение обращается в нуль. Производные и соответственно равны:

Отсюда

Подставляем полученные выражения в систему:

Графики рисуются по формулам: