Отсчет 1.3 (2) (Лабораторные + чутка типовых за 1-2 семеcтр)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Панфилов Д.С.

ТФ-13-14

Вариант №30

Задачи: 1.3

• Постановка задачи.

1.3. Задана функция F(x)-det(A(x)) . Требуется вычислить значение функции в точке x0 и исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.

• Теоретический материал.

Пусть — точное значение, — приближенное значение некоторой величины.

1) Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
2) Относительной погрешностью значения (при называется величина .

Так как значение (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

При этом величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Нас интересует значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле

3. Результаты вычислительного эксперимента

значение частичной величина абсолютной количество верных

суммы ряда погрешности значащих цифр

0

1

4

14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения проведем дополнительные эксперименты:

8

8

8

9

Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:

4. ОТВЕТ

1) номер первого из членов заданной прогрессии, для которого , равен

2) при этом

3) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна

4) частичная сумма дает 9 верных значащих цифр;

5) относительная погрешность этого значения равна

• Решение задачи.

Раскрывая определитель матрицы, получаем

f(x)=

Вычислим значение функции в точке x0.

f(x0)= 1054.16965789985, где x0=3.2333 0.00005

Производная функции. =6*x^5-4*x^3+4*x монотонно возрастает, поэтому max =1998.1060702075415, на отрезке [3.23325;3.23335].

Таким образом, теоретическая оценка получена

0.00005=0.09990530351037707

Сравним теоретическую оценку, с погрешностью, полученной в эксперименте.

f(x0)= 1054.16965789985

f(3.23332)= 1054.209617495339 ,

3.23332)=| f(x0)- f(3.23332)|= 0.03995959548888095 0.039960

=0.00003790622808144 003%

f(3.23327)= 1054.1097208745643 ,

3.23327)=| f(x0)- f(3.23327)|= 0.09989662077464345 0.099897 =0.00005685709585416 0.005%

Получено, хорошее соответствие с теоретической оценкой.

• Листинг программы