Теория подобия и анализ размерностей (2012) (Теория подобия и анализ размерностей)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. П. А. СОЛОВЬЕВА

Ш. А. ПИРАЛИШВИЛИ, С. В. ВЕРЕТЕННИКОВ, А. И. ГУРЬЯНОВ

Теория подобия и анализ размерностей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рыбинск

2012 г.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………….	6
1. Методы изучения физических явлений и задач…………………..	7
1.1 Анализ возможных подходов к решению прикладных задач……….	7
1.2 Экспериментальное исследование…………………………………….	8
1.3 Численные методы……………………………………………………..	9
2. Метод анализа размерностей…………………………………….	10
2.1 Анализ размерностей и фракционный анализ………………………..	10
2.2 Единицы измерения и размерности…………………………………...	12
2.3 Однородность размерностей в физических уравнениях …………….	14
2.4 π-теорема……………………………………………………………...	15
2.5 Пример применения теории размерности…………………………….	16
2.6 Анализ π-теоремы с использованием элементов матричной алгебры ..……………………………………………………………………...	20
2.7 Дополнение Хантли……………………………………………………	22
2.8 Пример приложения анализа размерностей………………………….	23
2.9 Исключения из применения π-теоремы…………………………….	25
2.10 Возможности и ограничения π-теоремы………..…………………	27
3. Основы теории подобия……………………………………………	32
3.1 Подобие физических явлений……………………………………….	32
3.2 Понятие и определение подобия физических явлений………………	34
3.3 Зависимые и независимые переменные. Условия однозначности….	38
3.4 Теоремы подобия………………………………………………………	39
3.5 Комбинирование критериев и относительных переменных………..	40
3.6 Сплошная среда и краевая задача…………………………………….	42
4. Элементы теории подобия в гидромеханике и теплообмене……	43
4.1 Математическое описание конвективного теплообмена…………….	44
4.2 Гидромеханическое подобие………………………………………….	47
4.3 Взаимное преобразование критериев подобия………………………	50
4.4 Тепловое подобие………………………………………………………	51
4.5 Физический смысл критериев подобия теплообмена………………..	54
5. Примеры приложений на практике теории подобия и метода анализа размерностей в задачах теплофизики………………………	58
6. Применение теории подобия к анализу процессов в вихревой трубе…………………………………………………………………..	67
7. Применение теории подобия к анализу процессов в вихревых противоточных горелках…………………………………………….	75
8. Применение метода анализа размерностей к исследованию процессов пневматического распыла жидкости форсунками…….	90
Библиографический список……………………………………….	97

Введение

Каждый раз, когда мы собираемся создать какую-либо машину, спроектировать некоторый механизм или изучить физический процесс (явление), возникают вопросы, связанные с особенностями функционирования создаваемого аппарата в некоторых вполне определенных условиях. Оценить качественную сторону в этих условиях возможно, если удается получить количественные оценки основных, характеризующих процесс функционирования изделия, параметров процесса. Достаточно часто попытка аналитического решения практических задач наталкивается на непреодолимые трудности. В этом случае приходится принимать ряд допущений, позволяющих упростить задачу и довести ее аналитическое решение до конкретного численного результата. Для сложных теплофизических процессов, особенно в трехмерной постановке, при течении сжимаемых, теплопроводных, неизотермических потоков получение решения аналитическим путем с необходимой степенью точности практически невозможно. На помощь приходят численные методы, получившие бурное развитие и внедрение в практику инженерных методов в последние годы, что объясняется совершенствованием компьютерных технологий. Повышение быстродействия компьютеров и увеличение объема памяти заметно форсировало процесс применения компьютерных вычислительных программ и комплексов при решении большого класса конкретных инженерных и научных задач в самых различных областях науки и технологии.

Однако и они не могут обойтись без конкретных качественных результатов, полученных из опыта, когда речь идет о необходимости тестирования численных расчетов или введения в расчет поправочных опытных коэффициентов.

Все это делает опыт как критерий истины незаменимым помощником. Следовательно, его правильная постановка и корректная обработка, позволяющая делать обобщения и рекомендации, остаются важными и актуальными способами ведения диалога с природой.

Отмеченные факты позволяют сделать вывод о возросшей необходимости проведения высококачественных экспериментальных исследований. Не меньшую важность приобретают качество постановки опытов и их математическая обработка. Однако и прямой эксперимент во многих случаях оказывается недостаточным для определения общих закономерностей поведения исследуемого явления при изменении управляющих параметров, влияющих на процесс его протекания. В этих условиях на помощь приходят теория подобия и метод анализа размерностей. Постановка опыта с их использованием позволяет правильно получить необходимые результаты, обобщение которых приводит к критериальным зависимостям, достоверно описывающим изученный процесс и ему подобные процессы в пределах некоторой погрешности.

1. Методы изучения физических явлений и задач

1.1 Анализ возможных подходов к решению физических задач

Физика – наука, использующая в своем развитии как теоретические, так и экспериментальные методы. И в том, и в другом случае она не может обойтись без математики, без того, чтобы не довести результат до числа, до количественной характеристики. Эффективное применение теоретических предпосылок, моделей для практических целей возможно лишь тогда, когда они выражены в количественных соотношениях и позволяют получать численные значения интересующих величин-параметров.

Наиболее достоверным является путь постановки экспериментального исследования натуральных объектов в натуральных условиях, что практически не всегда возможно. Например, как в натуральных условиях на Земле опытным путем изучать характер процессов, протекающих внутри звезд?

Большинство попыток найти аналитическое решение физических задач связано с достаточно большими трудностями, обойти которые возможно лишь путем принятия тех или иных упрощающих предпосылок, вносимых в процесс постановки задачи или в ход ее решения. Поэтому получаемые результаты имеют в лучшем случае характер приближенной оценки, в худшем – они неправильны по своей сути и могут привести к достаточно глубоким заблуждениям.

Существует еще и третий путь исследований. Это численное решение физических задач. Как и при чисто аналитическом пути исследования, при получении численных решений анализируются результаты решения некоторой используемой математической модели, а не характеристики действительного физического процесса. В большинстве инженерных задач в основу положены физические процессы, математические модели которых, главным образом, состоят из систем дифференциальных уравнений. В аналитическом виде решение можно получить лишь для небольшой части задач. Эти решения достаточно часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные уравнения для собственных значений и т. д. Все это значительно осложняет аналитическую оценку. На помощь приходят численные методы и наличие ЭВМ, обладающих большим быстродействием и памятью, позволяющие практически для любой инженерной задачи составить математическую модель и провести численное исследование. Идею численного метода можно понять на примере исследования распределения температуры в области, изображенной на рис. 1.1.

Рис. 1.1 К пояснению численного метода решения

теплопереноса за счет теплообмена

Допустим, что для этого достаточно знать температуру в дискретных точках области. Одним из возможных методов является определение температуры в узловых точках сетки, на которую разбивается область. При этом для неизвестных значений температуры записываются и решаются алгебраические уравнения, а не дифференциальные. Именно это упрощение объясняет достаточно широкую доступность и применимость численных методов.

Рассмотрим преимущества, недостатки и ограниченность каждого из трех перечисленных методов.

1.2 Экспериментальное исследование

Необходимая и наиболее важная информация в этом случае получается при непосредственном «общении» с объектом исследования с природой. При этом вы в процессе исследования задаете интересующие вас вопросы объекту (природе) и через отклики, обеспечиваемые измерительной системой установки, получаете ответы. С помощью постановки опытов на полномасштабной установке можно исследовать характер поведения объекта в натуральных условиях. Однако в большинстве случаев такие полномасштабные опыты чрезмерно дороги и часто невозможны. Альтернативой является постановка модельного эксперимента. В этом случае натуральный объект должен быть заменен подобной ему с геометрической и физической точек зрения маломасштабной моделью. Проведение опытов необходимо осуществлять таким образом, чтобы была обеспечена возможность экстраполяции полученных результатов на натуральный объект и условия его взаимодействия с окружающей средой. Причем общие правила для этого процесса могут отсутствовать и должны быть установлены непосредственно исследователем, производящим опыты. На маломасштабных моделях не всегда возможно воспроизвести все свойства полномасштабного натурного образца. Часто приходится в объект, в изучаемую область вносить датчики. Это физические объекты с конкретными размерами, и их появление вносит возмущение в процесс, а следовательно, приводит к некоторому отличию протекания явления по сравнению с естественными условиями. Необходимо помнить, что в некоторых случаях измерения затруднены, а измерительная техника дает показания с некоторой погрешностью. Что касается аналитического метода, то его недостатки уже отмечались. Они, прежде всего, связаны с математическими трудностями постановочного характера и трудностями осмысления полученных решений, часто требующего самостоятельного дополнительного исследования.

1.3 Численные методы