(22) (Теория к экзамену)

6.3. Собственный момент импульса

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Было установлено, что момент импульса   системы изменяется только под действием суммарного момента   всех внешних сил; именно этот вектор   определяет поведение вектора  . Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают.

     Вычислим суммарный момент внешних сил. Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть   - суммарный момент сил относительно точки O, а   - относительно точки O', радиус-вектор которой   (рис. 6.13). Найдем .связь между  и  .

 Введем понятие собственного момента импульса системы частиц. Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние   новые радиус-векторы частиц определяются через старые формулой  . Поэтому момент импульса системы относительно точки Oможно представить так:

     или

     где  - момент импульса системы относительно точки О', а  - полный импульс системы.

 Из формулы (6.20) следует, что если полный импульс системы   то ее момент импульса не зависит от выбора точки O. А этим как раз и отличается С-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда можно сделать третий важный вывод: в С-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент будем называть собственным моментом импульса системы и обозначать  .

становим связь между  . Пусть   - момент импульса системы частиц относительно точки O К-системы отсчета. Так как собственный момент импульса   в C-системе не зависит от выбора точки О', возьмем точку   совпадающей в данный момент с точкой О К-системы. Тогда радиус-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент ( ), скорости же частиц связаны формулой

     где   - скорость C-системы относительно К-системы. Поэтому можно записать:

     Первая сумма в правой части этого равенства - собственный момент импульса . Вторую сумму представим как  или , где  масса всей системы,  - радиус-вектор ее центра масс в К-системе,   - суммарный импульс системы. В результате получим

     т. е. момент импульса   системы частиц складывается из ее собственного момента импульса   и момента  , обусловленного движением системы частиц как целого.

     Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса относительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной оси.

     Из формулы (6.23) в частности, следует, что если центр инерции системы покоится (импульс системы  ), то ее момент импульса   - это собственный момент импульса. Такой случай уже рассматривался выше. В другом крайнем случае, когда  , момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (6.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

     Рассмотрим уравнение моментов в С-системе. Ранее было отмечено, что уравнение (6.12) справедливо в любой системе отсчета. Значит, оно справедливо и в С-системе. Поэтому сразу можно записать:

     где   - суммарный момент внешних сил в С-системе.

     Так как С-система в общем случае неинерциальная, то в   входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа было показано, что момент сил   в С-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку С - центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия  . Итак,

     т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра инерции данной системы.

     В частности, если  , то   т. е. собственный момент импульса системы сохраняется.

     В проекциях на ось z, проходящую через центр инерции системы, уравнение (6.24)имеет вид

     где  -суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в С-системе оси z, проходящей через центр масс. И здесь если  то  .