(16) (Теория к экзамену)

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой.

Если тело в каждой точке пространства подвержено воздействию других тел, то говорят, что это тело находится в поле сил. Так, например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести.

Поле консервативных сил называется потенциальным полем сил. В каждой точке такого поля потенциальная энергия имеет определенное значение. Чтобы установить связь между потенциальной энергией   и консервативной силой  , вычислим элементарную работу по перемещению материальной точки из точки 1 в близко расположенную точку 2. Через точки 1 и 2 проведем эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности одинакового потенциала, которые находятся на расстоянии   друг от друга. Так как работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, то потенциальная энергия на поверхности 1 больше чем на поверхности 2, а именно, при переходе от поверхности 2 к поверхности 1 она возрастает на  . Элементарная работа  равна убыли потенциальной энергии:

  . (1).

Согласно построению эквипотенциальных поверхностей сила   всегда перпендикулярны этим поверхностям. Элементарную работу силы   на перемещении  можно определить и другим способом:

  . (2)

Решая совместно (1) и (2), находим соотношение между убылью потенциальной энергии и силой:

.

Это соотношение можно записать в векторной форме, если ввести векторную  величину – градиент потенциальной энергии  . По определению это вектор направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии:

,

где  – единичный вектор нормали. Тогда

   – связь между консервативной силой и потенциальной энергией.

В заключении заметим, что градиент скалярной функции координат    обозначается либо символом  , либо , где   – оператор набла, который имеет вид:

.

Тогда

   – градиент скалярной функции  .

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Те системы, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета.