Ряды и интеграл Фурье
Описание файла
Документ из архива "Ряды и интеграл Фурье", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГТУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГТУ, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Ряды и интеграл Фурье"
Текст из документа "Ряды и интеграл Фурье"
Ряды Фурье
Обобщенным рядом Фурье функции f(t) = L2[a, b] по ортогональной системе функций {gk(t)}, k = 1,2, ……n,….. называется функциональный ряд c1g1(t) + c2g2(t) + ……+ cngn(t) + …. = , коэффициенты которого находятся по формулам: Сk =
и его записывают: f(t) =
.
Внимание! Функция f(t) L2[-l, l] на всей числовой оси является периодической с периодом 2l: f(t+2l) = f(t) и может быть представлена рядом Фурье, если она удовлетворяет условиям Дирихле.
Важное значение для приложений имеют
а) ортогональная система тригонометрических функций:
{1, cosnt, sinnt} , nN на L2 [- ], u =
, в которой ряд Фурье имеет вид
Коэффициенты вычислены с учетом нормирования ортогонального базиса.
Разложение функции в тригонометрический ряд называют спектральным гармоническим анализом, поскольку каждый Т-периодический сигнал f(t) полностью определяется наборами:
-
{An}, nN (АЧХ – амплитудно-частотных характеристик)
-
{n}, nN (ФЧХ – фазо-частотных характеристик),
поэтому ряд Фурье в приложениях представляют в виде:
f(t) = +
, где Аn =
- амплитуда, n - частота,
n = arctg - сдвиг соответствующей гармоники по фазе или
f(t) = +
, где Аn =
- амплитуда, n - частота,
n = arctg - сдвиг соответствующей гармоники по фазе.
Замечание. 1. Если Т = 2, (= 2/Т=1), то ряд называют классическим рядом Фурье и он имеет вид:
2. Если Т = 2l, (= 2/Т= ), то ряд Фурье имеет вид:
б) ортонормированная система показательных функций:{ }, nZ, L2[
,
]
Ряд Фурье называют рядом Фурье в комплексной форме и в ней он имеет вид: f(t) = , где Сn =
, nZ.
Замечание. 1. Если Т = 2, (= 2/Т=1), то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид: f(t) = , где Сn =
, nZ.
2. Если Т = 2l, (= 2/Т= ), то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид: f(t) =
, Сn =
, nZ.
в) частные случаи рядов Фурье
Если функция f(t) четная: f(-t)= f(t), то, bn = 0 (n = 1, 2, …..) и ряд Фурье имеет вид:
1) для t [-,) и Т= 2 ,
, n = 1, 2, ……
2) для t [- ,
) и Т= 2
,
, n = 1, 2, ……
Если функция f(t) нечетная f(-t)= - f(t), то 0 = 0 и
n = 0 (n = 1, 2, …..) и ряд Фурье имеет вид: f(t) =
, где
1) для t [-,) и Т = 2, , n = 1, 2, ……
2) для t [- ,
) и Т= 2
,
, n = 1, 2, ……
Интеграл Фурье
а) интеграл Фурье в комплексной форме по ортонормированной системе функций: { }:
- удовлетворяющая условиям Дирихле и абсолютно интегрируемая, то есть
(является сходящимся) может быть представлена интегралом Фурье.
Если для выделить
и Т - периодически продолженную представить рядом Фурье в комплексной форме:
, то обозначив
, будем иметь
, откуда следует, что
и
.
Переходя к пределу при ,
, получим
.
(сравните с рядом Фурье в комплексной форме и с его Сn )
Замечание. Смысл интегральной формулы Фурье в представлении непериодической функции суммой тригонометрических колебаний с непрерывной последовательностью частот (
), то есть в составе непериодической функции
присутствуют все частоты
, определяющие амплитудные и фазовые характеристики.
Прямое и обратное преобразования Фурье для интеграла Фурье в комплексной форме:
и называется - “обратное преобразование Фурье” (от частоты ко времени), а
=
называется - “прямое преобразование Фурье” (от времени к частоте), а её
- амплитудный спектр.
б) интеграл Фурье в действительной форме по ортонормированной системе тригонометрических функций
В интеграле Фурье в комплексной форме, записав показательную функцию по формуле Эйлера, получим:
, тогда интеграл в действительной форме:
.
Заметим, что и тогда интеграл в действительной форме:
(I)
Теорема. Если f(t) абсолютно интегрируема <
и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале [a; b], то интеграл Фурье сходится к f(t) в точках непрерывности, а в точке разрыва
сходится к
.
Различные формы записи интеграла Фурье в действительной форме
используя формулу тригонометрии
- базисные ортонормированные функции;
;
- преобразования (коэффициенты) Фурье
Частные случаи интеграла Фурье
при , где
называется косинус преобразование Фурье (прямое преобразование от
), а
- обратное преобразование Фурье (от
).
при , где
называется синус преобразование Фурье (прямое преобразование от
), а
- обратное преобразование Фурье (от
).
3) Если и удовлетворяет условиям Дирихле, то можно получить разные интегралы Фурье, доопределив
на
а) как четную функцию;
б) как нечетную функцию;
в) как функцию общего вида, взяв, например =0 для
.
Связь прямого преобразования Фурье в комплексной форме
с косинус- и синус преобразованиями в действительной форме: