Операционный метод решения дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями в t₀= 0 (задача Коши).

1) Для дифференциального уравнения n-го порядка:

с начальными условиями: ,

применяя к обеим частям преобразование Лапласа, теорему дифференцирования оригинала и свойства линейности преобразования Лапласа, получаем операторное уравнение в пространстве изображений:

или , откуда алгебраическим способом находим операторное решение уравнения .

Заметим, что всегда правильная дробь, так как .

2) Для находим оригинал f(t), который является решением

задачи Коши заданного дифференциального уравнения.

 Найти оригинал можно

а) используя свойства преобразования Лапласа, теоремы и табличные

значения изображений;

б) раскладывая правильную рациональную дробь на простейшие и используя

свойства линейности преобразования Лапласа и табличные

значения изображений.

Примеры. Найти для заданного изображения, которое может быть получено при

решении дифференциального уравнения, оригинал.

1)

Решение: воспользуемся свойствами линейности и табличными значениями оригиналов.

.

2)

Первое решение: Разобьём дробь на простейшие дроби.

. Вычислим неопределённые коэффициенты: . Тогда

Второе решение: Воспользуемся теоремой умножения изображений (свёртка

оригиналов) для нахождения оригинала.

Так как . Вычисляя два раза по частям, найдём оригинал. Обозначим , тогда = .

Сравни с оригиналом f(t), полученным первым способом.

Примеры. Решить дифференциальные уравнения операторным методом.

1) с начальными условиями .

Применяем теорему дифференцирования оригинала для левой части уравнения и находим изображение для правой части уравнения.

Пусть , тогда

, а .

 Подставив все в уравнение, получим операторное уравнение для заданного дифференциального уравнения:

. Решаем полученное алгебраическое уравнение относительно искомой функции , откуда .

• Раскладывая правильную рациональную дробь на простейшие и используя свойства линейности преобразования Лапласа и табличные значения изображений найдем оригинал .

Неопределенные коэффициенты вычисляем методом частных значений, так как все корни многочлена знаменателя действительные и различные.

, откуда для .

Требование для начальных условий в t₀ = 0 несущественно, так как заменой переменной можно свести уравнение к нулевым начальным условиям.

Пример.

Сделаем замену переменной , тогда .Введем новую функцию .

Получим новое уравнение

Применяем теорему дифференцирования оригинала для левой части уравнения и находим изображение для правой части уравнения.

Пусть , тогда

. Для правой части уравнения

Подставляя в уравнение, получим

и находим оригинал .

Окончательный ответ .

Проверка.