Задачи раздела 3 «Уравнение Шредингера. Физические принципы квантовой механики.»

1. Показать, что оператор импульса – эрмитов оператор.

2. Показать, что если физическая величина описывается эрмитовым оператором , то среднее значение квадрата этой величины .

3. Получить формулу для оценки энергетического спектра частицы в некоторой потенциальной яме с характерным линейным масштабом .

4. Найти силу, с которой частица, находящаяся в потенциальном ящике, давит на стенку.

5. Найти вероятность пребывания частицы в потенциальном ящике в основном состоянии в области .

6. Частица массы падает на прямоугольную потенциальную яму шириной и глубиной . Энергия частицы вне ямы равна Е. Найти коэффициент прозрачности ямы . Показать, что, когда ширина ямы равна целому числу полуволн де Бройля, частица беспрепятственно проходит через яму ( =1).

7. Зная коэффициент из предыдущей задачи, найти ширину ямы, при которой максимален коэффициент отражения .

8. Показать, что дисперсии координаты и импульса осциллятора в основном состоянии удовлетворяют соотношению неопределенностей.

9. Используя модель классического гармонического осциллятора, показать, что нулевым колебаниям осциллятора соответствует минимальная энергия, допустимая соотношением неопределенностей.

10. Найти наиболее вероятное местонахождение гармонического осциллятора в состояниях:

1) ;

2) .

1. С помощью квазиклассического условия квантования оценить энергетический спектр гармонического осциллятора.

2. Показать, что в задаче о гармоническом осцилляторе ряд с коэффициентами, определяемыми рекуррентным соотношением , расходится как

3. Вычислить средние значения и и их произведение для системы, находящейся в состоянии .

4. Показать, что в состоянии , где оператор имеет определенное собственное значение, средние значения и равны нулю.

5. Найти энергетический спектр ротатора при больших значениях орбитального квантового числа.

6. Показать, что классическое представление о спине в модели электрона, вращающегося вокруг собственной оси, является неправильным.

7. Показать, что излучающий атом передает излучению не только энергию, но и момент импульса.

8. Показать, что спиновое квантовое число для фотона равно 1.

9. Показать, что по классическим представлениям магнитный момент, связанный с орбитальным движением электрона в атоме, прецессирует в постоянном магнитном поле (ларморовская прецессия).

10. Определить вероятности возможных значений проекции спина на ось , повернутую на угол относительно оси , если известно, что частица находится в состоянии с определенным значением проекции спина .

11. Вывести формулу Планка для равновесного излучения по методу Эйнштейна.

12. Показать, что электрическое дипольное излучение является преобладающим над остальными типами излучения.

13. Получить формулу для мощности излучения электрического диполя.

14. Найти правила отбора для гармонического осциллятора.

15. Найти правила отбора для ротатора.

16. Показать, что правила отбора определяют поляризацию излучения атома.

17. Оценить естественные ширины спектральных линий в видимой области ( Ǻ) при переходе из нормально возбужденного состояния ( ) и из метастабильного состояния ( ).

18. На примере классического осциллятора с радиационным затуханием оценить время жизни атома в возбужденном состоянии.

19. Оценить температуру газа атомов водорода, при которой головная линия серии Лаймана имеет естественную ширину. Время жизни атома водорода на уровне .

20. Оценить мощность лампы накачки в рубиновом лазере для создания инверсной населенности уровня отношению к уровню основного состояния.