Министерство высшего образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)» 
________________________________________________________
Кафедра «Прикладная математика»

Афинские математические школы

реферат по дисциплине

«История математики»

Выполнил студент

Проверил

Москва – 2021

Оглавление

Введение 3

Школа Атомистов. Демокрит Абдерский 3

Элейцы. Парменид и Зенон 5

Платон и платоники 6

Аристотель 7

Евдокс 8

Список литературы 9

Введение

Математика как наука родилась в Древней Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль Галилей два тысячелетия спустя: «книга природы написана на языке математики».

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики.

Помимо накопления и освоения разрозненного фактического материала и его систематизации в древней Греции возникают первые попытки строгих доказательств математических утверждений и логически исчерпывающих решений рассматриваемых задач, начинаются исследования проблемного характера (например, установление возможности или невозможности решения при помощи только циркуля и линейки «великих задач» о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба) [1, с. 16].

Школа Атомистов. Демокрит Абдерский

Демокрит (ок. 460 до н.э. — ок. 370 до н.э.) и его учитель Левкипп (V в. до. н.э.) являются основоположниками атомистического учения, утверждающего, что вся вселенная состоит из комбинаций неделимых атомов. Таким образом, своих последователей и самого Демокрита принято объединять названием «школа атомистов». Являлся крупным ученым своего времени, слушал выступления Сократа (470/469 до н.э. — 399 до н.э.) в Афинах, восхвалял Анаксагора (ок. 500 до н.э. — ок. 428 до н.э.).

В своих книгах, которых было, по-видимому, около семидесяти, он рассуждал о физике, анатомии, психологии, астрономии, богословии, этике и, конечно же, математике. Ни один труд Демокрита не дожил до наших дней в полном виде, нам известны лишь фрагменты, цитируемые и упоминаемые в трудах более поздних мыслителей.

Рис. 1. Демокрит Абдерский, «смеющийся философ»

Демокрит полагал, что всякая геометрическая величина состоит из первовеличин — «геометрических атомов». Если какой-нибудь отрезок разделим пополам, а каждую полученную половину опять разделим пополам, то в конечном счете, по Демокриту, мы придем к неделимым отрезкам, которые более делить невозможно. Полагал, что площадь и объем также состоят из большого, но конечного числа неделимых «атомов», следовательно, вычисление объема тела сводилось к суммированию объемов всех «атомов», из которых состоит тело [2, с. 47].

Предвосхитил «метод неделимых» и «принцип Кавальери», согласно которому два тела имеют равные объемы, если при пересечении их любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, оба сечения имеют всякий раз равные площади.

По словам Архимеда, именно Демокрит впервые открыл, что объем пирамиды или конуса равен трети объема призмы или цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Демокрит и Анаксагор изложили также основы теории изображения пространственных фигур на плоскости.

Заслуга Демокрита в истории математики заключается в том, что он одним из первых стал разрабатывать вопросы стереометрии и наметил приемы математического исследования, развитие которых привело позднее к созданию теории бесконечно малых величин.

Элейцы. Парменид и Зенон

Условными научными противниками атомистов были элеаты, учение которых представляет собой следующую стадию в развитии греческой философии. Они считали, что единое начало всего существующего не находится в мире материальном. Бытие есть по определению, небытия — нет. Бытие единственно, неделимо, не имеет ни прошлого, ни будущего, неразрушимо и несоздаваемо.

К элейской школе принято условно относить Ксенофана (ок. 570 до н.э. — после 478 до н.э.), которого одни считают основателем учения, другие — вдохновителем, Парменида из Элеи (ок. 540 до н.э. или 515 до н.э. — ок. 470 до н.э.), главного представителя течения, и его ученика — Зенона Элейского (ок. 490 до н.э. — ок. 430 до н.э.), вошедшего в историю прежде всего благодаря своим апориям.

Ксенофан из Колофона, которого Платон называет учителем Парменида Элейского в «Софисте», по свидетельству Аристотеля, заметил, что разные народы Средиземноморья приписывают свойственные себе черты богам: нубийцы видят своих богов чернокожими, с короткими волосами и плоским носом; греки видят своих богов иначе, приписывают им белую кожу и соответствующую внешность и так далее. Бог един — вот вывод, который сделал Ксенофан после своих наблюдений. Более того, Бог не обладает антропоморфными качествами, это не единственное человекоподобное существо, а нечто всемогущее, всеобъемлющее, находящееся везде и всегда.

Учение Ксенофана высказано в полемической форме, а его ученик Парменид из Элеи изложил его в форме догматическо-философской, оформленной с точки зрения бытия.

Рис. 2. Зенон Элейский

Зенона Элейского, ученика Парменида, Аристотель называл «изобретателем диалектики». Зенон показал некорректность исходных предпосылок, используемых философами при рассуждениях относительно пространства и движения. На различных примерах своих многочисленных апорий, к слову, дошедших до наших дней лишь в количестве нескольких штук, он вскрывал неизбежные при этих предпосылках противоречия и доводил рассуждения до абсурдных выводов.

Математическое значение апории Зенона приобрели тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объёма пирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Парадоксы Зенона оказались в противоречии с некоторыми давними и интуитивными представлениями о бесконечно малом и бесконечно большом. Например, всегда считали, что сумму бесконечно многих величин можно сделать сколь угодной большой, даже если каждая величина крайне мала, а также что сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равна нулю. Критика Зенона была направлена против таких представлений; его четыре парадокса дошли до нас благодаря Аристотелю и известны под названиями Ахиллес, Стрела, Дихотомия (деление пополам) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия [3, с. 11].

Например, знаменитая апория о легендарном герое троянской войны Ахилле и черепахе звучит так: Ахиллес и черепаха движутся в одном направлении по прямой; Ахиллес быстрее черепахи, но, чтобы её нагнать, ему надо сначала достичь точку Р, из которой черепаха начала движение; когда Ахиллес попадет в Р, черепаха продвинется в точку P1, то есть Ахиллес не может догнать черепаху, пока не попадет в P1, но черепаха при этом продвинется в новую точку Р2, и т. д. Следовательно, Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху.

Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число малых отрезков, каждый из которых — конечной длины. Они показали также, что мы встречаемся с затруднениями при объяснении того, каков смысл заявления, что прямая «состоит» из точек. Весьма вероятно, что сам Зенон не имел представления о том, к каким математическим выводам приводят его рассуждения — они оказали влияние на математическую мысль многих поколений

Развитие философских идей оказывало огромное влияние на математику, так как в античной Греции все философы интересовались математикой, а все математики интересовались философией. Апории Зенона способствовали уяснению понятия «бесконечность» [2, c. 49].

Платон и платоники

Платон (согласно историку философии Диогену Лаэртскому, настоящее имя этого великого человека — Аристокл) был учеником знаменитого Сократа и унаследовал от него твердую веру в существование истины и высших ценностей жизни, которые познаются через приобщение к благу и красоте трудным путём внутреннего самосовершенствования.

Чтобы изучить математику, Платон, подобно его предшественникам, отправился сначала к египетским жрецам, посетил в Италии приверженцев пифагореизма. Возвратившись в Афины, он стал во главе новой школы, основанной им и его приверженцами и получившей название «Академия». Ввел в геометрию аналитический метод, конические сечения и учение о геометрических местах. Платону также приписывают изобретение анализа — способа исследования истины, когда искомое рассматривают как известное и переходят от следствия к следствию до тех пор, пока не убедятся в истинности искомого [2, c. 50].

Рис. 3. Платон, (429/427 до н.э. — 347 до н.э.)

Реальность, полагал Платон, заключена в универсальных идеях: красоты, чести, благородности и так далее. Такие идеи постоянны и неизменны, а знание относительно них прочно и неуничтожимо. Реальность и рациональность физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики идеального мира. Плутарх приводит изречение Платона: «Бог всегда является геометром». Математические законы платоники считали не только сущностью реальности, но и вечными и неизменными.

Высокая оценка математики определялась философскими установками Платона: он считал, что занятия математикой являются важным этапом на пути познания идеальных истин. Он рекомендовал включить арифметику, геометрию, стереометрию и теоретическую астрономию в число предметов, необходимых руководителям государства. При этом он подчёркивал, что имеет в виду не практическую полезность этих наук, а их важность для упражнения ума и размышления над высшими философскими проблемами. В «Академии» были впервые разработаны основные начала, на которых должна строиться геометрия; сформулированы основные методы доказательств, из которых до нас дошли «аналитико-синтетический метод» и «способ приведения к нелепости». В связи с решением задач на построение в платоновской школе выработалось понятие о «геометрическом месте точек», как о непрерывном ряде точек, удовлетворяющем определенному условию. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки [3, с. 12].

Платона интересовали «Три знаменитые математические проблемы античности» — задачи, которые нельзя решить, пользуясь лишь циркулем и линейкой:

1. Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2. Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объём, вдвое больший объёма заданного куба.

3. Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей, вследствие чего эти проблемы стимулировали проникновение в новые области математики.

Платон продвинул вперед стереометрию, которая раньше отставала от планиметрии. «Платоновы тела» — пять правильных многогранников: