1612725132-47979a4a2b6d0e77ae1266019e7d1914 (Программа курса Быстров)

Программа по математической статистике.

Лектор Быстров А. А.

Раздел 1. Основные статистические задачи

Выборка. Выборочное (эмпирическое) распределение и выборочные характеристики: среднее, дисперсия, моменты. Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений, гистограммы. Теорема Гливенко – Кантелли. Сходимость выборочных характеристик к истинным.

Раздел 2. Точечное оценивание параметров

Параметрические классы распределений. Понятие оценки неизвестного параметра. Состоятельные и сильно состоятельные оценки. Несмещенные оценки. Метод моментов. Примеры ОММ. Состоятельность ОММ. Метод максимального правдоподобия. Функции правдоподобия. Примеры ОМП. Асимптотически нормальные оценки. Теорема о композиции. Сравнение оценок: асимптотический подход, среднеквадратический подход. Теорема о несуществовании наилучшей оценки в классе всех оценок с конечной дисперсией. Достаточные статистики. Факторизационная теорема Неймана—Фишера. Теорема Рао-Блэкуэлла-Колмогорова. Полные достаточные статистики. Эффективные оценки. Теорема существования и единственности. Неравенство Рао—Крамера. R-эффективные оценки. Критерий R-эффективности. Связь эффективных и R-эффективных оценок. Байесовские оценки.

Раздел 3. Интервальное оценивание

Распределения, связанные с нормальным. Лемма Фишера. Свойства нормальных выборок. Построение точных доверительных интервалов для нормальных совокупностей. Построение асимптотических доверительных интервалов с помощью асимптотически нормальных оценок.

Раздел 4. Проверка статистических гипотез

Простые и сложные гипотезы. Статистические критерии для проверки конечного числа простых гипотез. Вероятности ошибок критерия. Мощность критерия. Состоятельные критерии. Сравнение критериев в задаче проверки простых гипотез. Байесовский критерий. Минимаксный критерий. Наиболее мощные критерии. Лемма Неймана – Пирсона. Проверка простых гипотез против сложных альтернатив. Существование равномерно наиболее мощных критериев для проверки односторонних альтернатив. Критерии согласия. Критерии Колмогорова, «хи-квадрат». Проверка сложных гипотез против сложных альтернатив. Теоремы Пирсона для критерия «Хи-квадрат». Двувыборочные критерии. Критерии Колмогорова—Смирнова, Стьюдента, Фишера.

Раздел 5. Задачи линейной регрессии.

Модель множественной линейной регрессии. Оценки МНК. Теорема Гаусса-Маркова. Коэффициент детерминации. Несмещенная оценка для дисперсии ошибок. Нормальная линейная регрессия: совместное распределение оценок коэффициентов и оценки дисперсии. Доверительные интервалы и проверка гипотез. Оценки метода правдоподобия.