1612727883-64858b3136b9201fdb85748708584603 (2020 - Вопросы к экзамену Ткачев)

Вопросы к экзамену

по курсу “Уравнения математической физики”

1. Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Представление общего решения линейного однородного уравнения с частными

производными первого порядка. Задача Коши. Примеры.

2. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Задача Коши. Локальная разрешимость. Примеры.

3. Нелинейные уравнения. Задача Коши. Пример. Неединственность решения задачи Коши.

4. Уравнение Гамильтона - Якоби. Задача Коши. Локальная разрешимость задачи Коши. Примеры.

5. Условия интегрируемости системы уравнений uxi = Ai (x,u). Примеры.

6. Некоторые уравнения и системы уравнений математической физики. Уравнение

малых поперечных колебаний струны.

7.ЗЗадачи о равновесии и движении мембраны. Общее уравнение движения (формулировка уравнения).

8. Некоторые уравнения и системы уравнений математической физики. Система

уравнений идеальной гидродинамики (газовой динамики). Система уравнений акустики.

9. Задача о распространении тепла. Вывод уравнения диффузии на основе закона Нэрнста. Система уравнений Максвелла (без вывода). Уравнение Шредингера (без вывода).

10. Дифференциальное уравнение и система уравнений с частными производными

и их решения (определения, обозначения Шварца, примеры). Задача Коши. Теорема Коши – Ковалевской (только формулировки: общий случай, случай одного линейного уравнения высокого порядка).

11. Теорема Коши - Ковалевской. Доказательство теоремы (случаи одного линейного уравнения высокого порядка, уравнения второго порядка). Область существования решения.

12. Обобщенная задача Коши. Характеристики уравнений и систем уравнений с частными производными. Примеры.

13. Классификация уравнений и систем уравнений первого порядка. Канонический вид t-гиперболической системы первого порядка с одной пространственной переменной. Примеры.

14. Метод характеристик для t- гиперболической системы первого порядка с одной пространственной переменной.

15. Метод Римана решения задачи Гурса и обобщенной задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с двумя переменными.

16.УУравнение колебаний струны. Метод Даламбера. Неограниченная струна. Ограниченная струна (частный случай).

17. Уравнение колебаний струны. Метод Даламбера. Ограниченная струна (общий

случай).

18. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы. Формула Кирхгофа представления решения волнового уравнения (n = 3).

19. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы. Представление решения задачи

Коши (n = 3).

20. Существование решения задачи Коши для волнового уравнения (n = 3). Принцип

Гюйгенса. Метод спуска. Формулы Пуассона и Даламбера решения задачи Коши

(случаи n = 2,1).

21. Теорема Хольмгрена о единственности. Области единственности и влияния для волнового уравнения.

22. Вывод основного неравенства для волнового уравнения. Интегралы энергии.

Оценки решения волнового уравнения и его производных.

23. Принцип Дюамеля. Получение решения задачи Коши для неоднородного волнового уравнения с помощью принципа Дюамеля.

24. Корректность задачи математической физики. Примеры Ковалевской, Леви и Адамара.

25. Задача Коши для уравнения теплопроводности при t 0. Условие Адамара.

26. Теорема Адамара. Гиперболические и строго гиперболические операторы.

27. Задача Коши для уравнения теплопроводности в классе ограниченных функций. Формула Пуассона.

28. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность решения задачи Коши в классе ограниченных функций. Принцип Дюамеля.

29. Метод Фурье. Общая схема. Обоснование в простейших случаях.

30. Теорема максимума для гармонических функций. Формула Грина.

31. Объемный потенциал, потенциалы простого и двойного слоев. Некоторые следствия из формулы Грина: аналитичность гармонической функции, теорема о среднем как характеризация гармоничности функции.