1612729137-be1d4a42c474aa96f68f1104735d3e7c (Вопросы 2019-2020 Люлько)

Программа курса по функциональному анализу

5, 6 семестры (2019-2020)

1.Метрические пространства. Определение. Примеры. Неравенства Гельдера и Минковского.

2 Замкнутые, открытые множества в метрическом пространстве. Свойства.

3. Сходимость в метрическом пространстве. Полнота метрических пространств.

4. Теорема о пополнении метрических пространств.

5. Критерий полноты метрического пространства (теорема о вложенных шарах). Контрпримеры к теореме.

6. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.

7. Теорема Бэра.

8. Сепарабельные метрические пространства. Примеры несепарабельных пространств.

9. Компактные, вполне ограниченные метрические пространства. Критерий компактности метрического пространства (теорема).

10. Компактные и относительно компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа.

11. Критерии относительной компактности множеств в конкретных пространствах: в , в

, в C[a,b] (теорема Арцела), ,

12. Линейные пространства. Свойства. Примеры.

13. Нормированные, банаховы пространства. Определение. Примеры.

14. Теорема об изоморфизме конечномерных нормированных пространств. Следствия.

15. Линейные пространства со скалярным произведением. Свойства. Примеры.

16. Тождество параллелограмма (теорема).

17. Ортонормированные системы. Свойства. Лемма об ортогонализации.

18. Гильбертовы пространства. Примеры. Теорема о разложении гильбертова пространства в прямую сумму. Следствие (критерий всюду плотности линейного многообразия).

19. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.

20. Ряды Фурье. Теорема о свойстве минимальности коэффициентов Фурье. Следствие (неравенство Бесселя).

21. Равенство Парсеваля. Теорема об эквивалентности в сепарабельном гильбертовом пространстве понятий полной и замкнутой ортонормированных систем.

22. Теорема Рисса-Фишера. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств. Пример несепарабельного гильбертова пространства.

23. Операторы, действующие из в ( , – нормированные пространства). Линейность, непрерывность, ограниченность операторов. Теорема об эквивалентности непрерывности и ограниченности для линейного оператора. Примеры.

24. Пространство Норма оператора. Равномерная и сильная сходимости операторов. Полнота пространства Теорема о продолжении линейного оператора по непрерывности.

25. Сопряженное пространство X* . Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы.

26. Общий вид линейных непрерывных функционалов в конкретных пространствах: в конечномерном, в , в , в (p>1), в гильбертовом (теорема Рисса), ,

27. Естественное вложение в . Рефлексивные нормированные пространства. Примеры.

28. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема о полноте пространства в смысле сильной сходимости. Критерий сильной сходимости линейных операторов.

29. Слабая сходимость в нормированных пространствах. Свойства. Ограниченность слабо сходящейся последовательности. Критерий слабой сходимости. Теорема об эквивалентности ограниченности и слабой ограниченности множества.

30. Критерий слабой сходимости в конечномерном пространстве, (p>1), гильбертовом пространстве, ,

31. Слабая сходимость и *- слабая сходимость в сопряженном пространстве. Свойства. Теорема о *- слабой компактности замкнутого шара в , где - сепарабельное нормированное пространство. ( Теорема Алаоглу)

32. Обратные операторы. Свойства. Критерий существования обратного линейного оператора. Критерий существования обратного линейного ограниченного оператора.

33. Теорема Неймана. Теорема об открытости множества операторов в , имеющих обратные ограниченные операторы.

34. Теорема Банаха об обратном операторе. Следствие об эквивалентности норм.

35. Замкнутые операторы. Свойства. Примеры. Теорема Банаха о замкнутом графике.

36. Спектр и резольвента линейного оператора. Классификация точек спектра.

37. Компактность спектра линейного непрерывного оператора. Аналитичность резольвенты на резольвентном множестве. Следствие.

38. Сопряженные операторы в банаховом пространстве. Теорема существования.

39. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема существования. Свойства сопряженных операторов.

40. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Норма оператора. Свойства спектра. Теорема о границе спектра самосопряженного оператора. Следствие.

41. Вполне непрерывные (компактные) линейные операторы. Примеры. Свойства.

42. Лемма Рисса (о почти перпендикуляре). Следствие. Критерий конечномерности нормированного пространства (теорема).

43. Теорема о замкнутости множества вполне непрерывных операторов в пространстве . Компактность оператора Гильберта-Шмидта.

44. Теорема о компактности сопряженного оператора (д-во в гильбертовом пространстве).

45. Леммы о конечномерности ядра и о замкнутости множества значений оператора , где - вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве.

46. Линейные операторные уравнения с вполне непрерывными операторами. Теорема Рисса об обратном операторе. Альтернатива Фредгольма.

47. Теорема о связи между неоднородным уравнением и однородным сопряженным уравнением (д-во в гильбертовом пространстве).

48. Теорема об одинаковом количестве линейно независимых решений однородного уравнения и сопряженного однородного уравнения ( д-во в гильбертовом пространстве).

49. Теорема о спектре компактного оператора.

50. Теорема Гильберта - Шмидта о полноте собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Следствия.

Программу составила

доцент кафедры прикл. матем. НГУ,

к.ф.-м.н. Люлько Н.А. 2020 г.