2 ОНИ (Билеты и лекции к экзамену (Семёнов))

ЛЕКЦИЯ №9

Выбор интервалов варьирования - задача чрезвычайно трудная, т.к. она связана с неформализованным типом планирования эксперимента. На это этапе необходимо использовать сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения y. Обычно все эти сведения являются ориентировочными и в ходе эксперимента их приходится корректировать. Условие проведения эксперимента записывают в виде таблицы, в которой строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значения факторов. Таблицы называют матрицами планирования эксперимент.

Пример: рассмотрим задачу по определению усилия прессования профиля и предположим, что на каком-то определенном участке усилие будет линейно зависеть от 3-х факторов:  - степени деформации - коэффициента трения, угла конусности контейнера . Математическую модель для линейной функции запишем в следующем виде:

(x – истинная величина)

(кодированное x = ± 1)

Матрица планирования.

Для простоты записи кодированных значений факторов, 1 опускают и пишут «+» или «-«. Столбец фиктивной переменной x₀ необходим для оценки свободного члена b₀, число опытов на 1 превосходи число независимых переменных k = 3, такие планы называют насыщенными, т.к. все степени свободы n = k+1 используются для оценки коэффициентов регрессии соответственно, b₀ определяется через ₁, b_1®₁, b_k®_k.

Эти планы обладают следующими свойствами:

1. симметрично j = N факторам, изменяющимся от 1 до k.

1. Отвечают условиям нормировки:

1. Ортогональны: сумма почленных произведений i-x факторов столбцов равна 0.

1. Рототабельны – точность предсказания значения y одинакова на равных расстояниях от центра экспериментов. Эта точность растет с ростом числа независимых переменных, но сравнивая с однофакторным экспериментом.

Полный факторный эксперимент.

ПФЭ – эксперимент, в котором реализуются возможные сочетания уровней факторов. Если каждый фактор варьируется на 2^x уровнях, то имеет место ПФЭ типа 2^к, где 2 – число уровней, к – число факторов.

Построим матрицу планирования ПФЭ 2^к:

Если для 2-х факторов все возможные комбинации уравнений легко находить простым перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приближении построения матриц.

Рассмотрим 2 приема на примере матрицы 2³:

1-й прием: при добавлении нового фактора каждая комбинация уравнений исходного плана встречается дважды в сочетании с верхним и нижним уравнениями нового фактора.

2-ой прием: в 1-ом столбце матрицы знаки меняются поочередно, во 2-ом – они чередуются через 2, в 3-ьем – через 4, в 4-ом – через 8 и т.д. по степени двойки.

ПФЭ позволяет не только оценить нелинейность модели, которая связана с тем, что эффект одного фактора зависит от уравнения, на котором находится другой фактор. Математическая модель при это выглядит следующим образом:

Для ПФЭ 2² матрица планирования с учетом взаимодействия будет иметь вид:

Столбцы x₁ и x₂ задаются планированием, по ним непосредственно определяются условия опытов; столбцы x_0, x_1, x₂ служат только для расчета коэффициентов. С ростом числа независимых переменных число возможных взаимодействий быстро растет. В ПФЭ 2³ уже возможно 4 взаимодействия: x₁x₂; x₂x₃; x₃x₁; x₁x₂x₃ (эффект взаимодействия 2-го порядка).

Дробный факторный эксперимент.

Количество опытов в ПФЭ значительно по превосходящим числам определяемых коэффициентов линейной модели, т.е. ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. Рассмотрим матрицу ПФЭ 2²: по этому плану можно вычислить 4 коэффициента и представить результат в виде следующей математической модели:

.

Если имеется основание допустить, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейным варьированием, то нам достаточно определить всего 3 коэффициента b₀, b₁, b₂. Остается одна степень свободы. Ее можно искать для минимизации числа опытов, т.е. при линейном приближении вектор-стобец произведения x₁x₂ используют при определении фактора x₃, т.е. для 3-х факторов эксперимента математическую модель можно представить линейной моделью. Здесь мы не получим раздельных оценок, как в ПФЭ 2³. Оценки смешаются следующим образом:

Но т.к. постулируются линейные модели, то все парные взаимодействия предполагаются незначимыми, зато количество опытов по сравнению с ПФЭ 2³ сокращается в 2 раза.

Поставив 4 опыта для оценки влияния 3-х факторов мы воспользовались так называемой полурепликой ПФЭ 2³, т.е. мы используя могли получить ДФЭ 2^3-1 разделенной оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия при реализации обеих полуреплик. Матрицы из опытов для 4-х факторов планирования будут полурепликой от ДФЭ 2⁴, а для пятифакторного эксперимента четверть репликой от 2⁵. Обозначение при этом ДФЭ 2^к-р.

ЛЕКЦИЯ №10

Условное обозначение дробных реплик и количество опытов в них можно определить из таблицы:

ДФЭ – берем часть от ПФЭ.

Генерирующие соотношения для:

Эти соотношения показывают с каким из эффектов связан данный эффект, такие соотношения называются генерирующими соотношениями.

Генерирующие соотношения показывают, что при выборе дробной реплики мы приравняли элементы следующих столбцов в соответствии с записанными выше соотношениями.