Министерство сельского хозяйства и продовольствия

Российской Федерации

Московский государственный агроинженерный

университет им. В.П.Горячкина

Методические указания

к лабораторным работам по физике для студентов

I курса всех факультетов

МЕХАНИКА

Часть II

Издание четвертое, переработанное

Москва 2004 г.

СОСТАВИТЕЛИ: Башлачев В.А., Белинский Б.А., Быстров Г.С.,

Дмитриев Г.В., Ершов А.П., Туркин А.В.

Под общей редакцией Туркина А.В.

Работа №7

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО

МАЯТНИКА

Цель работы. Изучение затухающих колебаний на примере вертикального пружинного маятника.

Экспериментальное определение коэффициента жесткости пружины К и периода собственных колебаний Т₀ пружинного маятника, коэффициента затухания β и логарифмического декремента затухания δ.

Теория.

Колебательное движение – один из широко распространённых в природе и технике видов механического движения. Колебательным называется движение, характеризующееся повторяемостью во времени, при этом колеблющееся тело проходит многократно через одни и те же положения. Колебательное движение называется периодическим, если существует промежуток времени Т (период колебаний), по истечении которого все движения полностью повторяются. Примером такого движения является малые колебания. Они совершаются телом, находящемся в равновесии под действием консервативных сил, при малом отклонении его от положения равновесия и предоставления самому себе.

Рассмотрим тело, находящееся в положении равновесия, на которое действуют только консервативные силы, то есть сила трения отсутствует. В равновесии сумма этих сил равна нулю. Сместим его от положения равновесия и предоставим самому себе. Смещение должно быть настолько малым, чтобы траектория движения практически представляла отрезок прямой, а возникающие при этом силы деформации были упругими. Движение в этом случае можно считать одномерным. Выберем прямую, вдоль которой происходит движение, за ось X, ноль которой соответствует положению равновесия тела. В этом случае координата x дает смещение тела от положения равновесия. При отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля. Она всегда направлена противоположно смещению, то есть к положению равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Проекция ее на ось имеет вид

. (1)

Коэффициент пропорциональности в этом выражении называют коэффициентом возвращающей силы. Так как такой же вид имеет сила упругой деформации, то возвращающую силу называют еще квазиупругой.

Уравнение динамики движения тела под действием силы (уравнение второго закона Ньютона) имеет вид

.

Спроецировав его на ось , получим

.

После подстановки сюда выражения для квазиупругой силы и проекции ускорения это уравнение сведется к следующему: или

. (3)

Разделим все члены этого уравнения на и введем обозначение

. (4)

Тогда уравнение (3) примет вид

. (5)

Его решением является функция (6),

определяющая смещение тела от положения равновесия в момент времени . и , входящие в уравнение (6), произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий. Так как cos функция периодическая, то движение тела в рассмотренном случае также будет периодическим, т.е. тело в условиях данной задачи будет совершать гармонические колебания вблизи положения равновесия (колебания, совершаемые по закону cos или sin называются гармоническими).

Величину А в уравнении (6) называют амплитудой, а аргумент косинуса фазой колебаний. В соответствии с уравнением (6) фаза колебаний находится по формуле

(7)

При , поэтому называют начальной фазой. Фаза колебаний определяет значение cos и, следовательно, величину смещения x в данный момент времени.

Смещение максимально тогда, когда . При этом , т.е. амплитуда равна максимальному смещению тела от положения равновесия. Выражения для периода колебаний Т получим из условия, что за время, равное периоду, фаза должна измениться на 2π, то есть

.

Согласно (7)

.

То есть

,

отсюда

(8)

При анализе колебаний помимо периода используют понятие частота колебаний. Частотой колебаний называют число колебаний совершаемых телом в единицу времени. В соответствии с определением

здесь число колебаний за время t. Так как , то

Это выражение устанавливает связь между частотой и периодом. С учётом этого выражения, для из (8) получим:

. (9)

Видим, что пропорциональна частоте , ее называют циклической частотой. Из формулы (7) следует, что циклическая частота это число колебаний совершенных телом за время равное сек. Циклическая частота в уравнении (6) параметр дифференциального уравнения, равный (Здесь k - коэффициент возвращающей силы, а m – масса колеблющегося тела).

Таким образом, малые колебания совершаются с циклической частотой

(10)

и периодом . (11)

Уравнение (5) получено из основного уравнения динамики, поэтому его называют динамическим уравнением колебаний, а его решение (6) – кинематическим уравнением колебаний.

При движении тела в поле консервативных сил его полная механическая энергия сохраняется, поэтому рассмотренные колебания будут совершаться бесконечно долго.

Колебания совершаются без действия внешних периодических сил, т.е. являются свободными. Следовательно, малые колебания в отсутствии силы трения, можно классифицировать, как свободные гармонические незатухающие колебания, совершаемые с собственной циклической частотой , зависящей от параметров колебательной системы.

Скорость колеблющегося тела найдем, продифференцировав выражение (6) по времени. Получим

Продифференцировав это уравнение по времени еще раз, получим выражение для ускорения

Сопоставляя два последних выражения видим, что и скорость, и ускорение колеблются с частотой колебаний тела, при этом, скорость опережает смещение по фазе на радиан, а ускорение на радиан.

Полная механическая энергия тела, совершающего колебания, равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Так как в отсутствие силы трения , силы действующие на тело консервативные, то, как уже отмечалось, полная механическая энергия с течением времени не меняется, тогда как кинетическая и потенциальная энергии, каждая в отдельности, изменяются с течением времени.

Для кинетической энергии тела, совершающего гармоническое колебательное движение, имеем:

. (12)

Потенциальная энергия рассчитывается по той же формуле, что и энергия упругой деформации.

, (13)

где - коэффициент возвращающей силы.

В момент, когда груз проходит через положение равновесия и, в соответствии с формулой ( 6 ), , а ,т.е. скорость движения тела в этой точке максимальна, и система имеет наибольшую кинетическую энергию

.

При максимальном смещении груза ( ) скорость движения становится равной нулю, при этом и колебательная система обладает максимальной потенциальной энергией

.

При написании этого выражения учтено, что .

Видим, что при отсутствии силы трения .

Из формул (12) и (13) следует, что частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в два раза больше частоты колебаний тела. Это иллюстрирует рис. 1, на котором представлены графики зависимостей от времени основных характеристик колеблющегося тела.

Рис.1.

Примером системы, совершающей малые гармонические колебания является пружинный маятник (рис.2). Он представляет собой груз массой m, подвешенный на упругой пружине. Будем считать, что масса пружины мала по сравнению с массой груза. На груз действует две консервативные силы – сила тяжести и сила упругой деформации пружины.

После отклонения груза от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колебания, если упругая пружина такова, что сила деформации пропорциональна величине удлинения пружины (рис.3)

Если первоначально длина пружины без груза , то при подвешивании груза она растянется на величину , называемую статическим удлинением пружины. Когда маятник находится в состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины: