Лекция №19-20. Конспекты к слайдам

ЛЕКЦИИ 19-20

ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА В РАДИОЛОКАЦИИ

1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

1. Постановка задачи оценивания параметров сигнала

Слайд 1

Одной из основных задач теории оптимальных методов приема сигналов является измерение (оценивание) параметров принимаемых сигналов, характеризующих, например,

- пространственное положение объектов (дальность, угловые координаты),

- направление их перемещения (проекции векторов скорости и ускорения на оси используемой системы координат) и др.

Эта задача формулируется в общем виде следующим образом.

На интервале времени наблюдается процесс , в общем случае векторный, представляющий аддитивную смесь

- сигнала , отраженного от цели,

- и шума :

, (1)

где - вектор информативных параметров сигнала, - вектор неинформативных параметров сигнала.

И , и неизвестны.

Однако информативные параметры (запаздывание, доплеровский сдвиг частоты и т. д.) несут в себе некоторую информацию интересную для потребителя, в свою очередь неинформативные параметры (например начальная фаза высокочастотного колебания) не содержат в себе полезной для дальнейшего процесса обработки сигнала информации.

Разделение параметров сигнала на информативные и неинформативные условно и зависит от схемы обработки сигнала и от других факторов.

Слайд 2

Сигнал может не содержать информативных параметров вообще!!!

В этом случае будем его обозначать как .

Также в дальнейшем будем опускать обозначение вектора, при этом будем учитывать тот факт, что в общем случае измеряемые параметры могут быть векторными.

Задача измерения информативных параметров сводится к следующему.

В результате измерения по принятой реализации необходимо сформировать возможно более точные оценки неизвестных параметров (дальности, радиальной скорости, угловых координат и др.).

Процедура оценивания включает:

- пространство оцениваемых параметров (элементы этого пространства будем обозначать через );

- пространство наблюдений (точку в этом пространстве будем обозначать вектором );

- обусловленное влиянием шума и флуктуациями сигнала вероятностное отображение из пространства параметров в пространство наблюдений;

- собственно правило оценивания, являющееся отображением элементов пространства наблюдений в элементы пространства параметров .

Слайд 3

Вследствие влияния шума и других факторов результат измерения параметров практически всегда отличается от истинного их значения на величину, называемую ошибкой измерения.

Если приняты меры для исключения систематических ошибок, то ошибки измерения , где — оцениваемый вектор параметров, являются случайными, и их можно описывать статистическими характеристиками.

В частности, показателями качества измерения одномерной случайной величины λ могут являться математическое ожидание, среднеквадратичная ошибка, дисперсия.

Для многомерных измеряемых случайных величин аналогичными показателями качества является вектор математических ожиданий и ковариационная матрица.

Слайд 4

По значению математического ожидания все оценки можно классифицировать на:

- несмещенные, для которых математическое ожидание равно истинным значениям параметров, то есть ;

- имеющие известное смещение, т.е. ,

где — известный вектор (систематическая ошибка возникает, например, при задержке сигнала в элементах приемного тракта, когда расстояние до цели измеряется по времени запаздывания принимаемого сигнала относительно зондирующего, при этом данная задержка может быть измерена);

- имеющие неизвестное смещение, зависящее от неизвестных параметров, т.е. матожидание может быть представлено как .

Для произвольного закона распределения случайных ошибок дисперсия ошибки измерения определяется из соотношения:

(2)

В дальнейшем рассматривается случай, когда в сигнале отсутствуют неинформативные параметры.

Подходы к оцениванию параметров сигнала при наличии неинформативных параметров будут описаны отдельно.

Слайд 5

1.2 Общее решение задачи оптимального оценивания параметров сигнала на основе теории статистических решений

В теории статистических решений обобщенным показателем качества оценивания параметров сигнала являются усредненные по всем значениям информативных параметров и возможным результатам наблюдения сигнала потери (средний риск):

(3)

Здесь — совместная плотность вероятности оцениваемого параметра и наблюдаемой величины ,

— функция потерь.

Конкретный вид функции потерь определяется типом решаемой задачи.

На практике наиболее широкое распространение получили функции потерь , зависящие только от ошибки оценивания .

Слайд 5

Графики некоторых типичных функций потерь для одномерного случая представлены на рис. 1.

Из графика первой функции (см. рис. 1, а) видно, что потери пропорциональны квадрату ошибки: .

Из графика второй функции (см. рис. 1, б), следует, что потери увеличиваются пропорционально абсолютной величине ошибки: |.

Функция потерь (см. рис. 1, в), принимает значения, равные 0 при ошибках измерения и равные 1 при | .

При любой функции потерь оптимальная процедура измерения должна обеспечивать минимум средних потерь, то есть минимизировать выражение (3).

Рисунок 1 – Типичные функции потерь:
а – квадратичная, б – линейная по модулю, в - ступенчатая

Слайд 6

Оценивание параметров сигнала, полученное в результате минимизации среднего риска с учетом априорной плотности распределения измеряемых параметров, называется байесовским, а сами оценки – байесовскими.

При отсутствии информации об априорной плотности распределения параметров сигнала описанный подход не применим напрямую, в этом случае, который часто возникает на практике, используется подход, называемый методом максимального правдоподобия.

Оценки, полученные по этому методу, называются оценками максимального правдоподобия или максимально правдоподобные оценки.

1.3 Байесовское оценивание параметров сигнала

Задача оценивания случайных параметров сигналов состоит в нахождении процедуры (алгоритма) обработки результатов наблюдения сигналов , обеспечивающей минимальное значение средних потерь R, определяемых выражением (3).

Для функции потерь, представленной на рис. 1, а, выражение для среднего риска имеет вид

(4)

Совместную плотность вероятности, входящую в (4), можно представить в виде

(5)

Здесь w(u) — априорная плотность вероятности наблюдаемой величины, — апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра.

Слайд 7

Подставляя соотношение (5) в (4), будем иметь средние потери в виде:

(6)

Наименьшее значение средних потерь можно получить, минимизируя внутренний интеграл в выражении (6).

Поскольку сомножители подынтегрального выражения неотрицательны, продифференцировав его по вектору информативных параметров сигнала и приравняв результат нулю, получим среднее значение информативных параметров

(7)

Таким образом, при квадратичной функции потерь оптимальная оценка, минимизирующая средний риск, должна быть получена как среднее значение апостериорной плотности вероятности оцениваемого параметра.

Слайд 8

Для функции, представленной на рис. 1, б (критерий минимума абсолютной величины ошибки), при измерении скалярного параметра средние потери определяются формулой

(8)

Эти потери будут минимальны, когда внутренний интеграл минимален.

Для нахождения оценки, минимизирующей средние потери разобьем внутренний интеграл на два:

(9)

Дифференцируя (9) по информативным параметрам и приравнивая результат нулю, получим условие, которому должна удовлетворять оценка , минимизирующая средний риск R_л:

(10)

Таким образом, оценка по критерию минимальной величины ошибки должна формироваться как абсцисса медианы апостериорной плотности вероятности.

Слайд 9

Для ступенчатой функции потерь (рис. 1, в) имеем потери

(11)

Для минимизации потерь необходимо максимизировать внутренний интеграл, или, что то же самое, минимизировать вероятность того, что ошибка измерения .

Очевидно, что для малых наилучшей оценкой в этом случае будет то значение информативных параметров , при котором апостериорная плотность принимает максимальное значение.

Поскольку логарифмическая функция монотонна, то при условии, что измеряемые величины лежат внутри допустимой области изменения пространства параметров и функция апостериорной плотности имеет непрерывные первые производные, необходимое условие максимума принимает вид

(12)

Выражение (12) называется уравнением максимальной апостериорной вероятности, оно часто используется для синтеза алгоритмов оценивания параметров сигналов в радиолокации.

Слайд 10