Жмакин А.П. Архитектура ЭВМ (2006), страница 9

Рассмотрим несколько примеров

Пример 3.5

Сложить два числа в обратном коде. Результат — на рис. 3.4.

Приведенный пример соответствует рассмотренному выше случаю 2; пере­нос, возникающий в знаковом разряде, циклически передается в младший разряд предварительного результата.

Пример 3.6

Сложить два числа в обратном коде (случай 3). Результат — на рис. 3.5.

Пример 3.7

Сложить два числа в обратном коде (случай 4). Результат — на рис. 3.6.

Пример 3.8

Сложить два числа в обратном коде (одинаковые модули, но разные знаки). Результат — на рис. 3.7.

Таким образом, ноль в обратном коде бывает "положительный" и "отрица­тельный" (обратите внимание на выражение (3.17)), причем добавление к числу "отрицательного" нуля, как и "положительного", дает в результате зна­чение первого слагаемого.

Пример 3.9

Сложить два числа в обратном коде: 3 + (-0). Результат — на рис. 3.8.

Теперь рассмотрим случаи, когда |A + B| > 1, что соответствует переполне­нию разрядной сетки. Очевидно, учитывая, что |а| < 1 и |В| < 1, переполнение

возможно только при сложении чисел с одинаковыми знаками. Рассмотрим примеры.

Пример 3.10

Сложить два числа в обратном коде: 13/16 + 5/16 = 18/16. Результат— на

рис. 3.9

Пример 3.11

Сложить два числа в обратном коде: (—11/16) ч- (—8/16) = (—19/16). Резуль­тат— на рис. 3.10.

Таким образом, признаком переполнения в обратном коде можно считать знак результата, противоположный одинаковым знакам слагаемых:

Пример 3.12

Сложить числа в обратном коде (а>в, в>0, |а + в| = 1). Результат — на рис. 3.11.

Пример 3.13

Сложить числа в обратном коде (а<0, в<0, |A + B| = 1). Результат — на рис. 3.12.

Переполнение в соответствии с (3.19) обнаруживается и в этих случаях.

Итак, использование обратного кода в операциях алгебраического сложе­ния/вычитания позволяет:

□ использовать только действие арифметического сложения двоичных кодов;

□ получать истинное значение знака результата, выполняя над знаковыми разрядами операндов те же действия, что и над разрядами чисел;

□ обнаруживать переполнение разрядной сетки.

Еще одним достоинством применения обратного кода можно считать просто­ту взаимного преобразования прямого и обратного кода.

Однако использование обратного кода имеет один существенный недоста­ток — коррекция предварительной суммы требует добавления единицы к ее младшему разряду и может вызвать (в некоторых случаях) распространение переноса по всему числу, что, в свою очередь, приводит к увеличению вдвое времени суммирования. Для преодоления этого недостатка можно использо­вать вместо обратного дополнительный код.

3.6. Дополнительный код

и арифметические операции в нем

Связь между числом и его изображением в дополнительном коде определяет­ся соотношениями

Таким образом, и дополнительный код положительного числа равен самому числу (как обратный и прямой). Дополнительный код отрицательного числа дополняет исходное число до основания системы счисления.

Дополнительный код отрицательного числа образуется в соответствии со следующим выражением:

Таким образом, для преобразования отрицательного двоичного числа в до­полнительный код следует преобразовать его сначала в обратный код (уста­новив знаковый разряд в 1 и проинвертировав все остальные разряды числа) и добавить единицу к младшему разряду обратного кода.

Другой способ перевода прямого кода отрицательного двоичного числа в до­полнительный (приводящий, разумеется, к такому же результату) определя­ется следующим правилом: оставить без изменения все младшие нули и одну младшую единицу, остальные разряды (кроме знакового!) проинвертировать.

Пример 3.14

Преобразовать числа в дополнительный код. Результат — на рис. 3.13

3.6.1. Алгебраическое сложение в дополнительном коде

Рассмотрим те же четыре случая сочетания знаков и модулей операндов, что и при рассмотрении сложения в обратном коде в разд. 3.5.1:

□ Случай 1

а>0, в>0, а + в<1

Этот случай соответствует обычному сложению прямых кодов чисел:

[а>0]+[в>0]=а+в.

□ Случай 2.

а>0, в<0, а + в>0.

[а > 0] + [в < 0] = а + 2 + в . Истинное значение результата в рассматри­ваемом случае (сумма положительна) будет а + в и коррекция заключает­ся в вычитании 2.

□ Случай 3.

а>0, в<0, а + в<0.

[а >0] +[в < O] = а + 2 + в . Этот результат соответствует правиль­ному, поскольку рассматривается случай отрицательной суммы.

□ Случай 4.

а<0, в<0, |а + в|<1.

[а < 0] + [в < 0]= 2 + а + 2 + в . Здесь предварительный результат, как и

в случае 2°, нуждается в коррекции путем вычитания 2, поскольку ис­тинное значение отрицательной суммы, представленной в дополнитель­ном

коде а + в + 2.

Как и в обратном коде, коррекция требуется только в случаях 2 и 4, причем в дополнительном коде коррекция заключается просто в игнорировании пере­носа, возникающего из знакового разряда.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.15

Сложить два числа в дополнительном коде: (+13/16)+ (-3/16) = (+10/16). Результат — на рис. 3.14.

Пример 3.16

Сложить два числа в дополнительном коде (случай 3). Результат рис. 3.15.

Пример 3.17

Сложить два числа в дополнительном коде (случай 4). Результат— на рис. 3.16.

Пример 3.18

Сложить два числа в дополнительном коде (одинаковые модули, но разные знаки). Результат — на рис. 3.17.

Из примера 3.18 видно, что "ноль" в дополнительном коде имеет единствен­ное "положительное" представление.

Теперь рассмотрим случаи, когда |а + в| > 1, что соответствует переполнению разрядной сетки.

Пример 3.19

Сложить два числа в дополнительном коде: 13/16 + 5/16 = 18/16. Резуль­тат — на рис. 3.18.

Пример 3.20

Сложить два числа в дополнительном коде: (-11/16) + (-8/16) = (-19/16). Результат — на рис. 3.19.

Очевидно, для дополнительного кода, как и для обратного, справедливо вы­ражение (3.19). Теперь рассмотрим случаи Л + 2я = 1. Для положительных

слагаемых пример 3.12 может относиться как к обратным, так и к дополни­тельным кодам, но преобразование результата— дополнительного кода в прямой приведет к другому значению. Действительно,

Пример 3.21

Сложить два числа в дополнительном коде: (-11/16) + (-5/16) = (-16/16). Результат — на рис. 3.20.

Переполнение по признакам выражения (3.19) не обнаружено! Однако ре­зультат операции — "отрицательный ноль", который не может использоваться

в дополнительном коде. Действительно, сложение в дополнительном коде любого числа с "отрицательным нулем" 1.00...0 меняет знак этого числа. Итак, при а<0, в<0, |а + в|=1 признаком переполнения служит не выраже­ние (3.19), а код результата 1, 00...0.

Таким образом, значение признака переполнения в дополнительном коде можно получить в соответствии со следующим выражением:

Подведем итоги. Применение дополнительного кода, по сравнению с обрат­ным, имеет одно существенное преимущество — коррекция результата сводится просто к отбрасыванию переноса из знакового разряда и не требует дополнительных затрат времени. К недостаткам применения дополнительного кода можно отнести, во-первых, более сложную про­цедуру взаимного преобразования ПК <-» ДК, требующую дополнительных затрат времени, и, во-вторых, проблемы с обнаружением переполнения. Для того чтобы минимизировать влияние первого недостатка, данные в памяти часто хранят в дополнительном коде. В этом случае преобразо­вания ПК <-> ДК выполняются относительно редко — только при вводе и выводе.

3.6.2. Модифицированные обратный и дополнительный коды

Для определения переполнения используют выражение (3.19)— булеву функцию трех переменных. С целью более удобного обнаружения перепол­нения в обратном и дополнительном кодах можно применить т. н. "модифи­цированные" их представления:

Нетрудно показать, что модифицированные коды отличаются от соответст­вующих обычных наличием дополнительного знакового разряда: "плюс" ко­дируется 00, а "минус"— 11. Эта своеобразная избыточность, сохраняя все качества обычных обратных и дополнительных кодов, позволяет фиксиро­вать факт переполнения по неравнозначности знаковых разрядов результа­та. Заметим, что использование модифицированного дополнительного кода не решает проблемы обнаружения переполнения в случаях А < 0, В < 0,

|А + В| = 1.

3.7. Алгоритмы алгебраического сложения в обратном и дополнительном коде

В разд. 3.5.1 и 3.6 подробно обсуждалось, как выполнить операцию алгеб­раического сложения чисел, уже представленных соответственно в обратном или дополнительном коде. Для этого достаточно выполнить арифметическое сложение двоичных векторов, получив истинное значение результата в коде представления операндов. При операции в обратном коде возникающий из знакового разряда перенос следует добавить к младшему разряду суммы. Пе­реполнение обнаруживается согласно выражению (3.19).

В случае если слагаемые представлены в прямом коде, а операция выполня­ется в обратном или дополнительном, их следует сначала преобразовать в соответствующий код, затем выполнить сложение и сумму вновь преобразо­вать в прямой код — код результата всегда должен соответствовать коду ис­ходных данных. На рис. 3.21 приведен пример алгоритма алгебраического сложения в обратном коде чисел, представленных в прямом коде, а на рис. 3.22— алгебраическое сложение/вычитание чисел в дополнительном коде. ,

При рассмотрении алгоритмов использованы те же обозначения, которые бы­ли введены в разд. 3.4 для рис. 3.1. Дополнительно введем обозначения: