Жмакин А.П. Архитектура ЭВМ (2006), страница 8

Точное расположение максимума экономичности может быть установлено пу­тем следующих рассуждений. Пусть имеется п знаков для записи чисел, а основание системы числения равно р . Тогда количество разрядов числа k=n/ р, а общее количество чисел N, которые могут быть составлены, равно:

Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти такое значение , при котором N принимает максимальное значение. Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять к нулю и решить полученное уравнение относительно р.

Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем In р = 1, или p_m = е, где е = 2,71828... — основание натурального логарифма. Ближайшее к е целое число, очевидно, 3 — по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел, однако следующей по экономичности оказывается двоичная система счисления.

Таким образом, простота технических решений — не единственный аргумент в пользу применения двоичной системы в компьютерах.

3. 3. Представление информации в ЭВМ. Прямой код

В современной ЭВМ используются, в основном, два способа представления двоичных чисел — с фиксированной и с плавающей запятой, причем в формате фиксированной запятой (ФЗ) используется как беззнаковое представление чисел ("целое без знака"), так и представление чисел со знаком. В последнем случае знак также кодируется двоичной цифрой — обычно плюсу соответствует 0, а минусу — 1. Под код знака обычно отводится стар­ший разряд а₀ двоичного вектора а₀ а_{ а₂... а_п, называемый знаковым.

Запятая может быть фиксирована после любого разряда двоичного числа, од­нако чаще всего используются два формата ФЗ: целые числа, когда запятая фиксируется после младшего разряда а_п, а диапазон представления лежит в пределах

и дробные числа — запятая фиксирована после а₀ , а диапазон

Далее, если не сделано специальных оговорок, будем рассматривать дробные двоичные числа со знаком, запятая в которых фиксирована после знакового разряда а₀ :

Очевидно, если двоичное число А = 0 ,a_l a₂ ... > О, то оно будет представ­лено в форме (3.14) как 0, a₂ ... а если А = 0,а_ха₂а_ъ...а_п <0, то как \,а_ха₂а_ъ ...а_п. Приведенное кодирование дробных двоичных чисел со знаком принято называть прямым кодом числа (обозначается как [A]_d). Итак

3.4. Алгебраическое сложение/вычитание в прямом коде

Сформулируем правила выполнения операций сложения и вычитания чисел со знаками (такие операции принято называть алгебраическими). Во-первых, алгебраическое вычитание всегда можно свести к алгебраическому сложе­нию, изменив знак второго операнда. Далее следует сравнить знаки слагае­мых. При одинаковых знаках складывают модули слагаемых и результату присваивают знак любого слагаемого (они одинаковые). Если знаки слагае­мых разные, то из большего модуля слагаемого вычитают меньший модуль и присваивают результату знак слагаемого, имеющего больший модуль.

Bведем обозначения:

Где:

□ , b₀ — знаковые разряды слагаемых;

□ с₀ — код знака результата;

□ , bj, — двоичные переменные;

□ f — тип выполняемой операции: f = 0 — сложение, f = 1 — вычи­тание;

□ OV — признак переполнения,

и выразим сформулированный выше алгоритм алгебраического сложе­ния/вычитания в форме граф-схемы алгоритма (ГСА), приведенной на

рис. 3.3.

Отдельно следует рассмотреть проблему обнаружения факта переполнения разрядной сетки данных с фиксированной запятой. Это может произойти, если

Очевидно, при сложении чисел с разными знаками переполнение невозмож­но. Если знаки слагаемых одинаковы, признаком переполнения может слу­жить перенос, возникающий при сложении старших разрядов модулей . При отсутствии этого переноса сложение двух любых одинаковых знаковых разрядов даст в результате с₀ = 0, а при появлении переноса из первого разряда с₀ = 1 . Таким образом, после сложения чисел с одинаковыми знаками значение знакового разряда суммы можно рассматривать как при­знак переполнения OV.

Характерно, что полученное в знаковом разряде с₀ значение не является зна­ком результата (алгебраической суммы). Истинное значение знака образуется не в процессе арифметической операции над знаковыми разрядами, а форми­руется искусственно.

Рассмотрим случай сложения чисел с разными знаками. Он сводится к вычи­танию модулей слагаемых, причем уменьшаемым должен стать больший мо­дуль. Чтобы избежать дополнительной модульной операции сравнения, мож­но произвести "наугад" вычитание А-В . Признаком того, что |А| >|B| будет отсутствие заема из нулевого в первый разряд. Поскольку рассматривается случай разных знаков слагаемых, то при отсутствии заема значение знакового разряда разности определится как 0-1 = 1-0 = 1, а при наличии заема 0-1-1 = 1-0-1 = 0. Таким образом, если при вычитании а-в получим с₀=1, это будет означать, что |A|>|B|, и результату следует присвоить знак числа а (с₀ :=а₀). Если окажется с₀ =0, то |A|<|B|, и следует осуще­ствить вычитание в-а, присвоив результату знак числа в (с₀ :=ь₀).

Рис. 3.3. Граф алгоритма алгебраического сложения-вычитания

3.5. Обратный код и выполнение алгебраического сложения в нем

При выполнении алгебраического сложения в прямом коде приходится, во-первых, не только складывать, но и вычитать двоичные коды; во-вторых, код знака результата формируется искусственно, т. е. знаковые разряды обраба­тываются по правилам, отличным от правил обработки разрядов числа. Для устранения отмеченных недостатков в ЭВМ широко используются специаль­ные представления двоичных чисел — т. н. обратный и дополнительный коды.

Представление обратного кода определяется следующим соотношением:

Из (3.17) следует, что обратный код положительного числа равен самому числу! Для получения обратного кода отрицательного числа достаточно при­своить знаковому разряду значение 1 и проинвертировать все остальные раз­ряды числа:

Действительно, из (3.17) следует, что при а = -0,а_ха₂а₃ ...а_п обратный код числа

Для перехода из обратного кода в прямой осуществляется следующее преобразование:

3.5.1. Алгебраическое сложение в обратном коде

Очевидно, что при отсутствии переполнения возможны четыре случая соче­тания знаков и модулей слагаемых [11].

□ Случай 1.

а>0, в>0, а + в<1.

Этот случай соответствует обычному сложению прямых кодов чисел:

[а>о] + [в>0]=а+в .

□ Случай 2.

А>0, В<0, А + В>0.

[А >0], + [В < 0] = А + 2 + В - ". Назовем этот результат предваритель­ным. Истинное значение результата в рассматриваемом случае (сумма положительна) будет А+В. Следовательно, предварительный ре­зультат нуждается в коррекции путем вычитания 2 и добавления

.

□ Случай 3.

А>0, В<0, А + В<0.

[А > О] + [в < О] = А + 2 + В - . Этот результат соответствует пра­вильному, поскольку рассматривается случай отрицательной суммы.

□ Случай 4.

А<0, В<0, |А + В|<1.

[А<0]+[в <0]= 2 + А- . Здесь предварительный ре­зультат нуждается в коррекции путем вычитания 2 и добавления 2~", как и в случае 2, поскольку истинное значение отрицательной суммы, представленной в обратном коде, А + В + 2- .

Заметим, что в случаях 2 и 4 требуется одинаковая коррекция: - 2 + при­чем только в этих двух случаях возникает перенос из знакового разряда. Дей­ствительно, в случае 4 оба знаковых разряда равны 1, а в случае 2 знак резуль­тата — 0, что при разных знаках слагаемых может получиться только при по­явлении переноса из первого разряда в нулевой (знаковый), а следовательно, обязательно будет перенос и из знакового разряда. Вес знакового разряда соот­ветствует 2°, а вес переноса из него— 2¹. Таким образом, игнорируя перенос из знакового разряда, мы вычитаем из результата 2, что соответствует пер­вому члену корректирующего выражения. Для учета второго члена следует

добавить 1 к младшему разряду суммы, вес которого составляет

В случаях 1 и 3 переноса из знакового разряда не возникает и коррекция ре­зультата не требуется.

Таким образом, для выполнения алгебраического сложения двоичных чисел, представленных в обратном коде, достаточно, не анализируя соотношение знаков и модулей, произвести сложение чисел, включая знаковые разряды, по правилам двоичной арифметики, причем возникающий в знаковом разряде перенос должен быть добавлен к младшему разряду результата, осуществляя тем самым коррекцию предварительной суммы. Полученный код является алгебраической суммой слагаемых, представленной в обратном коде.