5Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)

4

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.

Лекция 5. Определители

Основные понятия, определения, обозначения

Матрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.

Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.

Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.

Примеры:

— квадратная матрица порядка 2, — прямоугольная матрица,

—матрица-столбец, — матрица-строка.

Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или две вертикальные черты . Чаще используют круглые скобки.

Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквой с двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца), столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а строки — заглавной буквой с нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будем заключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.

Таким образом, обозначаем:

A — матрица, — элемент матрицы A, расположенный в i-й строке, j-м столбце, — j-й столбец матрицы A, — i-я строка матрицы A —

j-й столбец матрицы A,

— 1-й столбец матрицы A,

— i-я строка матрицы A, — 1-я строка матрицы A.

Пример. , , , .

Транспонирование матрицы

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.

Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается A^T:

Определители

Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы, детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом).

Определение. Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число, равное единственному элементу этой матрицы: A={a}, detA=|A|=a.

Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:

Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное

где — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементы матрицы.

Определитель 2-го порядка:

.

Определитель 3-го порядка:

Введем полезные в дальнейшем определения — минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение элемента матрицы.

В этих новых терминах определение определителя n-го (n > 1) порядка звучит иначе.

Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:

Справедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать.

Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу). Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислим определитель разложением по второй строке:

Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. (Доказать самостоятельно).

Свойства определителей

Для определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей.

1. Определитель не изменяется при транспонировании: det A^T = det A.

2. При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.

3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то определитель умножается на это число: .

5. Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.

6. Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

7. Если квадратные матрицы A, B и С отличаются только i-й строкой и при этом i-я строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i-х строк матриц A и B, то detC=detA + detB:

1. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число.

2. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю: .

Поскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9 справедливы и для столбцов.

Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.

Пример. поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.

Пример.

Пример.