1-2Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)
Описание файла
Файл "1-2Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "1-2Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст из документа "1-2Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 1-2. 1
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.
Лекции 1- 2. Векторная алгебра
Геометрические векторы. Линейные операции с векторами
Сначала вспомним известные из школьной программы определения и свойства геометрических векторов.
Определение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок.
Обозначаем: , А — начало, B — конец вектора.
Геометрические векторы также обозначают одной буквой: и т.п.
Определение. Длина вектора — расстояние между точками A и B.
Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых), одинаково направлены и их длины равны.
Определение. Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, равны по длине и противоположно направлены. Обозначаем: .
Определение. Нулевым называется вектор, имеющий нулевую длину. Направление нулевого вектора не определено. Обозначаем: .
Определение. Суммой векторов и называется вектор , определенный на рисунке (правило параллелограмма или правило треугольника). Обозначаем: .
Определение. Произведением вектора на число называется вектор длины , коллинеарный вектору , направление которого при совпадает с направлением вектора , а — противоположно направлению вектора .
Определение. Ортом вектора называется вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора .
Обозначаем: и т.п. Понятно, что .
Определение. Операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями с векторами.
Известно (нетрудно доказать), что для линейных операций с векторами справедливо:
Равенства 1-8 справедливы для произвольных векторов и для любых чисел .
Декартовы координаты. Координаты вектора. Линейные операции с векторами в координатной форме
Вспомним, как определяются декартовы координаты точки в пространстве: , , , , , , — .
Единичные векторы координатных осей обозначаем или :
Напомним, что координаты вектора — это ортогональные проекции вектора на координатные оси: если , то , , и .
Легко видеть (по свойствам операций сложения векторов и умножения вектора на число), что если , , то и .
Действительно:
Пример. Запись равносильна записи ; .
Определение. Вектор называется радиусом-вектором точки A:
Пространство R3 арифметических векторов
Определение. Трехмерным арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность 3 чисел. Обозначается . Числа называются компонентами арифметического вектора.
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа — ,
Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .
Определение. Множество трехмерных арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов R3.
Очевидно, что для любых , , из Rn и любых чисел α, β справедливо:
-
, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;
-
, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
Мы видим, что операции сложения и умножения геометрических и трехмерных арифметических векторов имеют одинаковые свойства. Тогда можно проделать такое сопоставление:
Выберем в трехмерном геометрическом пространстве декартову систему координат. Тогда для каждого геометрического вектора однозначно определены координаты : , что означает , причем, как показано выше, .
Это означает, что любой геометрический вектор можно рассматривать как трехмерный арифметический вектор, а пространство геометрических векторов можно изучать как пространство трехмерных арифметических векторов.
Деление отрезка в заданном отношении
Определение. Рассмотрим отрезок AB. Говорят, что точка M , принадлежащая отрезку AB делит его в отношении , если .
, . По известному свойству проекций если , то , т.е. и ; аналогично , .
В частности, точка делит отрезок ,
Задача. Найти длину медианы треугольника ABC, проведенную из вершины A, если A(1, 0, 2), B(0,1,1), С(3, 0,-2).
Решение. Точка M — середина BC, , .
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства скалярного произведения. Нетрудно показать, что для произвольных векторов , и , и для любого числа справедливо:
Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Докажем свойство 2: .
Действительно: , но по известному свойству проекций , тогда , что и требовалось доказать.
Из свойств 1- 4 можно вывести весьма важные и полезные следствия:
-
, тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны (поскольку направление нулевого вектора не определено, его можно считать ортогональным любому вектору);
-
если для любого вектора , то вектор — нулевой, т.е. из следует ;
-
если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то .
Следствия 1, 2 , 3 и 5 очевидно следуют из определения скалярного произведения. Докажем свойство 4.
Пусть для любого вектора . Значит, и для , тогда , но , следовательно, .
Докажем свойство 6 — вычисление скалярного произведения в координатах.
Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то , . Вычислим :
, из свойства 2 и следствия 1 следует:
из свойства 3 и следствия 2 следует:
Скалярное произведение векторов можно использовать для вычисления углов между векторами: если — угол между векторами и , то .
Равенство нулю скалярного произведения векторов — признак ортогональности векторов: , тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.
Задача (Типовой расчет!). Найти косинус угла между векторами и , если A(1, 2, 0), B(0, 2, -1) и C(0, 0, 1).
Решение. ; , , — векторы и — ортогональны, угол между ними равен , .
Если не вспомнили признак ортогональности, то можно продолжать вычисления: , , . Ответ. .
Задача.
Найти все внутренние углы, стороны, площадь, медианы, средние линии и высоты треугольника ABC, если A(1, 1, 0), B(0, 2, –1) и C(0, 1, –1).
Решение. Не будем здесь приводить все вычисления. Найдем , медиану BD, высоту BE и среднюю линию FG.
Остальные элементы треугольника вычисляются аналогично.
B(0, 2, –1)
Определители 2-го и 3-го порядка
Определение. Определителем 2-го порядка называется число, вычисленное по квадратной таблице из 4-х чисел следующим образом:
Определение. Определителем 3-го порядка называется число, вычисленное по квадратной таблице из 9-ти чисел следующим образом:
Пример.
Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением векторов и (обозначаем его ) называется вектор, который определяется следующим образом:
-
вектор ортогонален вектору и вектору ; (определили положение вектора в пространстве);
-
векторы , и образуют правую тройку; (определили направление вектора ).
Правая тройка: из конца вектора поворот от вектора к вектору видится против часовой стрелки. Правую тройку хорошо «моделировать тремя первыми пальцами правой руки.
Свойства векторного произведения. Нетрудно показать, что для произвольных векторов , и , и для любого числа справедливо:
Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Свойство 2 докажем чуть позже.