Задача 21

Задача 21. Найти энергетическую щель в спектре ферми-частиц сверхпроводника при помощи уравнений Боголюбова – де Жена. Проверить калибровочную инвариантность этих уравнений.

Решение. Будем использовать атомную систему единиц для сокращения обозначений: Временно не будем включать внешнее магнитное поле – также для сокращения выкладок. Гамильтониан свободного движения ферми-частиц (электронов в сверхпроводнике) имеет вид (в представлении вторичного квантования)

(1)

Здесь проекции спина электрона на выделенное направление принимают два значения: + вдоль направления, и – против направления. Введем операторы уничтожения и рождения электронов в данной точке пространства, основанные на волновых функциях свободного движения электронов гамильтониана (1) (нормировочный объем полагаем равным единице для сокращения выкладок):

(2)

Тогда гамильтониан (1) можно переписать через эти операторы

. (3)

Включим теперь притяжение между электронами. Решаем задачу в приближении Хартри, когда действие всех остальных электронов на данный электрон заменяем средним полем. Для одночастичной волновой функции данного электрона уравнение Шредингера в этом приближении имеет вид

Здесь сумма идет по остальным N электронам. Взаимодействие между электронами является короткодействующим (из-за экранирования в металле). Заменяя его на дельта-функцию , отсюда получим

(4)

Здесь число частиц N можно записать в виде, аналогичном (3):

.

Мы видим, что в приближении среднего поля взаимодействие между электронами содержит произведение только двух операторов, а не четырех, как в общем случае.

Таким образом, можно обобщить эту идею замены произведения четырех операторов на произведение только двух операторов в общем случае короткодействующего взаимодействия между электронами. В представлении операторов уничтожения и рождения электронов в данной точке пространства аналогично (3) запишем это дельта-функционное взаимодействие в виде

. (5)

Пары операторов из четырех операторов в (5) можно выбирать разными способами. В том способе, который аналогичен введению среднего поля в (4), имеем

(6)

При этом удобно выделить из этой величины слагаемое

и перенести его в кинетическую энергию (3). Это связано с тем, в задаче фиксируется химический потенциал, т.е. энергия Ферми, а не число частиц.

(7)

Отметим, что в этом выражении разность кинетической энергии и энергии Ферми в фигурных скобках представляет собой малую величину. А выражение (6) сохраним в прежнем виде.

Во взаимодействии (5) пару операторов можно выбрать и вторым способом

(8)

Наконец, третий способ – это

(9)

Такая связь между (8) и (9) обусловлена тем, что суммарный гамильтониан должен быть эрмитовым оператором. Итак, эффективный гамильтониан в приближении среднего поля записывается в виде

(10)

Отдельные слагаемые этого гамильтониана даются соответственно выражениями (6), (7), (8) и (9).

Идея Боголюбова состоит в том, чтобы свести этот гамильтониан взаимодействующих ферми-частиц к гамильтониану невзаимодействующих ферми-квазичастиц посредством линейного преобразования операторов уничтожения:

, (11)

.

Отсюда видно, как определить операторы рождения частиц. Новые операторы рождения и уничтожения ферми-квазичастиц так же, как и операторы рождения и уничтожения ферми-частиц, удовлетворяют обычным правилам антикоммутации. В соответствии со сказанным эффективный гамильтониан в терминах операторов квазичастиц должен иметь вид

(12)

Для осуществления такого преобразования к новым операторам вычислим сначала коммутатор гамильтониана с оператором уничтожения квазичастицы

(13)

Так как во втором слагаемом имеем

,

То мы видим, что в (13) два слагаемых взаимоуничтожаются. В результате получаем

(14)

Соотношение для второй проекции спина: – получается аналогично. Также аналогично получим коммутатор гамильтониана с оператором рождения квазичастицы

(15)

Также аналогично вычисляем коммутатор операторов уничтожения частиц с тем же гамильтонианом, но в форме (10) (вычисления предоставляются студентам)

. (16)

Теперь вычислим те же коммутаторы с тем же гамильтонианом, но записанным в форме (12). При этом используем определение (11) и соотношения (14) и (15)

(17)

Далее сравниваем члены при в (17) и правой части (16) друг с другом. Получим уравнение

. (18)

Аналогично сравниваем члены при в (17) и правой части (16) друг с другом. Получим второе уравнение

(19)

Уравнения (18-19) представляют собой т.н. уравнения Боголюбова.

При наличии магнитного поля надо в (18) заменить оператор импульса

Здесь А – векторный потенциал магнитного поля. Калибровочное преобразование не меняет напряженности магнитного поля. В уравнении (18) произведем замены функций

Тогда имеем

Повторяя эту операцию, получим

Следовательно, уравнение (18) преобразуется в уравнение

.

Оно имеет ту же форму, что и (18). Видно, что при калибровочном преобразовании не меняется энергия квазичастицы . Аналогичное преобразование проводится и с уравнением (19); однако в нем включение магнитного поля приводит к замене . Это связано с тем, что при эрмитовом сопряжении знак импульса не меняется, а знак векторного потенциала меняется на противоположный.

Проведем далее усреднение полученных операторных уравнений по основному состоянию ферми-квазичастиц. Из (5) и (6) имеем

Подставляя (11) в это соотношение, находим

или

(20)

Здесь

- функция распределения Ферми для идеального газа квазичастиц.

Аналогично из (5) и (6) имеем

(удвоение происходит из-за наличия в исходном взаимодействии (5) как слагаемых , так и ). Подставляя операторы уничтожения из (11), находим (простые выкладки, полностью аналогичные приведенным выше, предоставляются студентам)

(21)

Система уравнений Боголюбова (18-19) и уравнений (20-21) представляет собой систему самосогласованных уравнений для определения всех величин, входящих в эти уравнения. Найдем энергетический спектр квазичастиц в отсутствие магнитного поля. Ищем решение системы (18-19) в виде

(22)

Подставляя их в (18-19), получим систему алгебраических уравнений

Обозначая , перепишем эту систему в виде

(23)

Здесь также использовано предположение о малости вектора q. Из (23) находим спектр квазичастиц

(24)

Он содержит щель. Щель исчезает ( ) при условии Отметим, что из соотношения (11), описывающего преобразование от операторов частиц к операторам квазичастиц, следует, что .